例析带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题-《中学生数理化》高考理化2023年11月刊

■重庆市巫溪县中学校 刘显平 不考虑重力的带电粒子垂直射入匀强磁 场中,带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用, 将在与磁场方向垂直的平面内做匀速圆周运 动。带电粒子在洛伦兹力作用下运动时,会 因受诸多因素的影响,而出现多解。分析多 解问题的关键是明确形成多解的原因,并全 面分析符合题意的各种可能性,避免漏解。 下面归纳四种因素导致的带电粒子在磁场中 的多解问题的求解策略,希望对同学们的复 习备考有所帮助。 一、因带电粒子的电性不确定而导致的 双解问题的求解策略 电荷有正有负,在题目未明确指出受洛 伦兹力作用的粒子是带正电还是带负电的情 况下,粒子以一定的初速度垂直射入匀强磁 场后在垂直于磁场方向的平面内将可能沿顺 时针方向做匀速圆周运动,也可能沿逆时针 方向做匀速圆周运动,这样就会导致出现 双解。 图1 例 1 如图1所示, 在平面直角坐标系Oxy 的 第一象限内分布着垂直于 纸面向内的匀强磁场,磁感 应强度为 B。一带电荷量 为q、质量为 m 的粒子,以 速度v沿与x 轴正方向成30°角的方向,从坐 标原点O 射入磁场中,不计粒子自身重力, 则粒子在磁场中的运动方向和运动时间分别 为( )。 A.粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动, 在磁场中的运动时间为 2πm 3qB B.粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动, 在磁场中的运动时间为 2πm 3qB C.粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动, 在磁场中的运动时间为 πm 3qB D.粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动, 在磁场中的运动时间为 πm 3qB 解析:因为不知粒子所带电荷是正还是 负,所以需要分两种情况进行讨论。若粒子 带正电,则根据左手定则可知,它仅在洛伦兹 力作用下沿逆时针方向做匀速圆周运动,其 运动轨迹如图2所示。根据几何知识可知, 粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角θ1= 120°。粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T= 2πm qB ,因此它在磁场中的运动时间t1 = 120° 360°×T= 2πm 3qB 。若粒子带负电,同理可知, 它仅在洛伦兹力作用下沿顺时针方向做匀速 圆周运动,其运动轨迹如图3所示。粒子在 磁场中的运动轨迹所对的圆心角θ2=60°,粒 子在磁场中的运动时间t2= 60° 360°×T= πm 3qB 。 图2 图3 答案:AD 33 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月 二、因磁场方向不确定而导致的双解问 题的求解策略 在题目只确定磁感应强度的大小,而未 明确指出磁感应强度方向的情况下,带电粒 子以一定的初速度垂直射入匀强磁场后受到 的洛伦兹力的方向将变得不确定,这样就会 导致出现双解。 图4 例 2 如图4所示,一 带电荷量为-q、质量为 m 的电子在磁感应强度为B 的匀强磁场(图中未画出)中 绕固定的正电荷沿光滑轨道 做匀速圆周运动。若匀强磁 场方向垂直于电子运动轨迹所在平面,且作 用于电子的静电力恰好等于洛伦兹力的2 倍,不计电子自身重力,则电子做圆周运动的 角速度可能是( )。 A. 4qB m B. 3qB m C. 2qB m D. qB m 解析:匀强磁场的方向可能垂直于纸面 向里,也可能垂直于纸面向外,根据左手定则 可知,电子在方向相反的两种匀强磁场中受 到的洛伦兹力方向也是相反的。在由固定的 正电荷形成的电场中,电子受到的静电力由 电子所在位置指向正电荷。设轨道半径为 R,当电子受到的洛伦兹力与静电力方向相 同时,根据牛顿第二定律得3qv1B=m v21 R ,解 得v1= 3qBR m ,因此电子做圆周运动的角速 度ω1= v1 R= 3qB m 。当电子受到的洛伦兹力与 静电力方向相反时,根据牛顿第二定律得 qv2B=m v22 R ,解得v2= qBR m ,因此电子做圆 周运动的角速度ω2= v2 R= qB m 。 答案:BD 三、因临界状态不唯一而导致的多解问 题的求解策略 如图5所示,在长度为l 的平行边界 MN、PQ 之间分布着垂直于纸面向里的匀强 图5 磁场,边界 MN、PQ 之间的 距离为d,当带电粒子从M、 P 两点之间某一位置以某一 初速度垂直于磁场方向飞入 后,粒子在洛伦兹力的作用 下可能从右侧穿出磁场,也可能偏转180°从 左侧穿出磁场,这样就会导致出现多解。 例 3 如图6所示,足够长平行边界 a、b 之间分布着垂直于纸面向里的匀强磁 场,磁场的宽度为L。一带电荷量为+q、质 量为m 的粒子,以速率v0 沿与边界a 成夹 角θ的方向,从边界a上的P 点射入磁场中, 不计粒子自身重力,求粒子从匀强磁场中射 出所经历的时间。 图6 解析:粒子既可以从边界b射出,也可以 从边界a 射出,需要分两种情况进行讨论。