4.3实数 课件2023—2024学年苏科版 数学八年级上册

4.3实数（1） 无理数和实数的概念 探究 我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ = 2.5 = – 0.6 = 6.75 = 1.2 · = 0.81 · · 这些分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式. 发 现 如果把整数看成小数点后是0的小数， 例如将3看成3.0 有限小数 无限循环小数 有理数 那么 小数除了上述类型外，还会有什么类型的小数？ 通过之前的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 无限不循环小数又叫做无理数. 例如 ， ， ， 等都是无理数. π = 3.14159265…也是无理数. 像有理数一样，无理数也有正负之分. 正无理数： ， ，π … 负无理数： ， ，– π … 无理数 正无理数 负无理数 有理数和无理数统称为实数. 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 非0有理数和无理数都有正负之分，实数也有正负之分，所以实数还可以按大小分类如下： 实数 正实数 负实数 0 在数轴上表示实数 每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么，无理数呢？ 探究 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ O 1 2 3 4 O' 从图中可以看出，OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'对应的数是π. 这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来. 10 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧. 0 1 2 3 -1 -2 -3 弧与正半轴的交点就表示 ， 弧与负半轴的交点就表示 . 11 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来. 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的. 实数 数轴上的点 一一对应 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 小结 4.3实数（2） 相反数与绝对值 思考 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数. （1） 的相反数是______，-π的相反数是______，0的相反数是______； π 0 （2）| | =____，|-π| =____，| 0 | =____. π 0 数 a 的相反数是 – a， 任意一个实数 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． | a | = a，当a > 0时； – a，当a < 0时. 0，当a = 0时； 例1 （1）分别写出 ，π – 3.14的相反数； 解：（1）因为 –（π – 3.14）=3.14 – π 所以， ，π – 3.14的相反数为 ，3.14 – π （2）指出 ， 分别是什么数的相反数； （2）因为 所以， ， 分别是 ， 的相反数. （3）求 的绝对值； （3）因为 所以 （4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数. （4）因为 所以绝对值是 的数是 或 . 实数的运算 实数之间不仅可以进行加减乘除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算性质等同样适用. 例2 计算下列各式的值. （1） （2） 解： 22 在实数运算中，当遇到无理数并且要求求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 例3 计算（结果保留小数点后两位） （1） （2） 解：（1） ≈ 2.236 + 3.142 ≈ 5.38 （2） ≈ 1.732×1.414 ≈ 2.45 23 问题1 把下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小. 解： 0 1 2 -1 -2 3 -1.4 3.3 π 1.5 两个实数可以像有理数一样比较大小. 实数的大小比较 实数的大小比较 正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 两个正数，绝对值