3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的简单几何性质 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 x y F1 F2 M O x y F1 F2 M O a2-c2=b2 (a>b>0) P={ M||MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）} 复习回顾 我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。 下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质。 观察：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ l 结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. 思考：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ 1.范围 由方程，可知 所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式 即 即 这说明椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形框里。 l l 探究：观察椭圆的形状，可以发现椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用方程说明椭圆的对称性？ 2.对称性 在椭圆的标准方程中，以-y代y，方程不变。这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称。同理，以-x代x，方程也不变，这说明如果点P(x,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称。以-x代x，以-y代y，方程也不变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。 综上，椭圆关于x轴，y轴都是对称的。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 l l (1)图象关于 轴对称 (2)图象关于 轴对称 (3)图象关于 成中心对称。 y x 原点 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 2.对称性 3、椭圆的顶点： 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 椭圆顶点坐标： 线段A1A2 ，B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 3.顶点 在椭圆的标准方程中，令x=0,得,因此B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0，得,因此A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。 l 思考：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ l 4.离心率 利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c,可以发现，c越接近a,椭圆越扁平。类似的，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c,椭圆越扁平；而当a,c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变。 这样，利用a和c这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率。用表示，即 ②形象记忆：因为a>c>0,所以0<e<1.e越趋向于1越扁，形如一；e越趋向于0越圆，形如O. (2)性质：① 注：因为在椭圆中，，所以. 4、4.离心率 判断正误. (1)椭圆的长轴长等于.( ) (2)椭圆的离心率越小，椭圆越圆.( ) (3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( ) × √ √ 辨析2. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ). A. 5, 3, 0.8 B. 10, 6, 0.8 C. 5, 3, 0.6 D. 10, 6, 0.6 答案：B. 练习 例1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,并画出图形。 例题解析 解：把原方程化为标准方程，得 于是a=5,b=4, 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率 ，两个焦点坐标分别是F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点坐标分别是A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0,-4)和B2(0,4). 练习.求下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是10，离心率是； 解(1)：设椭圆方程为或. 由已知得，. 又∵，∴. ∴. ∴椭圆方程为或. (2) 离心率e＝，焦距为12. 练习 (2)离心率e＝，焦距为12. 【解】(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆