4.2.2指数函数的图像及其性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.2 指数函数的图象和性质 1.能画出具体指数函数的图象 2.掌握指数函数的性质，能应用性质比较两个函数值的大小，解决简单的问题 学习目标 复习回顾 特征 指数函数的概念： 一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R． ax的系数为1； ax的指数为自变量； ax的底数是大于零且不等于1的常数． 思考1:类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？ 实例 函数 图象 性质 值域 单调性 奇偶性 描点法 定义域 知识探究 x -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 0.25 0.5 1 2 4 请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y=2x的图像． x y 1 2 3 4 5 O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 -1 指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质 请同学们完成下表： x -2 -1.5 2.83 -1 -0.5 1.41 0 0.5 0.71 1 1.5 0.35 2 4 2 1 0.5 0.25 x -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 0.25 0.5 1 2 4 对比与 取值的列表，有什么关系？ 指数函数的图象和性质 因为，所以底数互为倒数的两个指数函数与的图象关于𝑦轴对称. 所以根据对称性就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数图象. 1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 选取底数a (a>0且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y=ax (a>0且a≠1)的值域和性质吗？ 指数函数的图象和性质 >1 0<<1 图像 定义域 值域 性质 (0,1) y=1 y=ax (0, +∞) (1)过定点(0 , 1) ，即 = 0时, =1 . （2）增函数 （2）减函数 y=ax y=1 (0,1) 指数函数的图象和性质 思考2:你认为函数图像在第一象限内的分布与底数的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函数图像在第一象限内的分布呢？ 指数函数的图象和性质 思考2:你认为函数图像在第一象限内的分布与底数的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函数图像在第一象限内的分布呢？ 指数函数的图象和性质 ①当 a＞1时，底数越大， ； ②当0＜a＜1时，底数越小， ． ③当a＞0且a≠1时，函数 y＝ax与 函数的图象关于 轴对称． 函数图象在第一象限越靠近y轴 函数图象在第二象限越靠近y轴 y 例题解析 例1.比较下列各题中两个值的大小： ,,,． 和可看作函数当分别取和时所对应的两个函数值． 因为底数，所以指数函数．是增函数． 因为，所以． 同理，因为，所以指数函数是减函数． 因为，所以． 由指数函数的性质知 ， ， 所以．  例题解析 例2.如图4.2-7.某城市人口呈指数增长. (1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期） (2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人？ 解：(1)由图知，当人口从10万增长到20万时，时间从20年增至40年，该城市人口每翻一番所需的时间需20年. (2)经过20年人口会翻一番，所以人口从80万增长到160万. 例题解析 1.函数数据如下表，求一个解析式. 0 1 2 3.50 4.20 5.04 解： 一个解析式为= 当堂检测 2.右图是指数函数: ① y=ax，② y=bx, ③y=cx, ④ y=d x 的图象， 则a,b,c,d与1的大小关系是 ( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 解：画出直线x=1与四个指数函数的交点从下往上依次为(1,b)，(1,a)，(1,d)，(1,c)，所以有0<b<a<1<d<c . 当堂检测 >1 0<<1 图