3.3.2 抛物线的简单几何性质课件（第1课时）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 复习回顾 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 问题1.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法, 你认为应研究抛物线 y2=2px (p>0)的哪些几何性质? 如何研究这些性质? y2=2px (p>0) y2=2px (p>0) y2=2px (p>0) y2=2px (p>0) y2=2px (p>0) A B 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径. |AB|=2p 通径越大，抛物线张口越大. 例1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, 2 )，求它的标准方程． 解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0） 因此所求方程为：y2=4x 则将M点代入得解得：p=2 变式：顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程, y2=4x或 x2=y 练习1（课本136页1）.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)； （2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)； （3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4； （4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线. x x 例2.斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． 解1:由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0) 所以直线AB的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0． 解这个方程，得x1=3+2， x2=3-2 ， 代入方程①中，得y1=2+2， y2=2-2， 即A(3+2, 2+2 )，B(3-2, 2-2 )． 例2.斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． 解2:由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0) 所以直线AB的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0． 例2.斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． 解3:由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0) 所以直线AB的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0． 追问：上例中如果直线l不经过焦点F, |AB|的长还等于x1+x2+2吗? 由三角形性质 练习2（课本136页3）.过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求|AB|． 解：设A(,), B(,), 直线l为抛物线方程，得x2-8x+4=0， ∴ +=8, =4 . 16 16 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，)) 可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0， ∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝8， 解得k＝±1，所以k的值为1或－1. 练习3.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 解.(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)， 由|PF|＝2得：1＋eq \f(p,2)＝2，得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x. $$