1.1空间向量及其运算同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（    ）      A． B． C． D． 4．已知，若三向量共面，则等于（ ） A． B．9 C． D． 5．平行六面体中，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．一物体在力F的作用下，由点A（2，1，-1）移动到点B（7，0，1），若，则对该物体所做的功为（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 7．正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是三个空间向量，则一定不共面 C．设是两个空间向量，则 D．设是三个空间向量，则 10．在以下命题中，正确的命题有（    ）， A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 11．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（   ）    A．四面体PBCQ的体积的最大值为 B．的取值范围是 C．若二面角的平面角为，则 D．若三棱锥的外接球表面积为S，则 12．已知空间单位向量两两之间的夹角均为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意的最小值为1，则 ． 14．在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 15．如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为 ．    四、双空题 16．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当二面角的大小为时，则 ；四棱锥外接球的表面积为 .    五、解答题 17．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 18．如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 19．已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 20．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 21．如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点． (1)设，，，试用，，表示向量； (2)若，，，，，求OE和AB所成角的余弦值． 22．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．    (1)设，，，用，，表示； (2)若求． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】先计算向量的减法，然后再计算加法，由此可得结果. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2．B 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 3．D 【分析】结合向量的加法与减法线性运算，将表示成以为基底的向量，进而得解. 【详解】由题可知，，又因为为中点，所以， . 故选