安徽省合肥市长丰北城衡安学校衡安学校2023-2024学年高三上学期数学期中考试试卷

衡安学校2023--2024年度上学期高三年级第三次调研考试 数学试卷 满分：150 时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知a，，，若，则的虛部是（    ） A．2 B．-2 C．-2i D．2i 3．设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 4．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的 取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知一元二次不等式的解集为，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为 ，且，则（    ） A． B． C．3 D．或3 8．已知定义在上的函数满足，且，，， ．若，恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若复数满足，则 C．若，则复数一定为实数 D．若复数满足，则最大值为 10．下列说法正确的是（    ） A．已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 B．已知向量，若，则 C．若向量，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足，则为等边三角形 11．已知函数，则（    ） A．若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3 B．若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为 C．若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1 D．若函数在上单调递增，则 12．已知函数，则（    ） A．当时，单调递减 B．当时， C．若有且仅有一个零点，则 D．若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．为虚数单位，则 ． 14．在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则 的最大值为 . 15．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到 三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若，，则的取值范围是 ． 16．已知函数，，若，，则的最大值为 . 四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且 在复平面上对应的点在虚轴上. (1)求； (2)设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积. 18.（本小题满分12分）某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场 的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位： 元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向 政府缴纳环保费用元 (1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并 指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）； (2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 19.（本小题满分12分）（1）如图①，在中，为边上的高，，， ，，求的值； （2）如图②，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，若，分别为线段，的 中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围.    20.（本小题满分12分）已知函数. (1)已知，求最小值； (2)讨论函数单调性. 21.（本小题满分12分）某公司规划修建一个含生活和娱乐功能的设施，并在设施前的小路 之间修建一处弓形花园（如图所示）．已知为上一点， ，设．    (1)用表示，并求的最小值； (2)问为何值时，点与主体设施之间的距离最近？ 22.（本小题满分12分）已知函数，，且曲线和 在原点处有相同的切线． (1)求实数a的值： (2)证明：当时，； (3)令，且．证明：. 衡安学校2023-2024年度上学期高三年级第三次调研考试 数学答案 1．D【详解】因为或，又， 所以集合不是的子集，故选项A错误，，故选项B错误， 因为，，所以集合不是的子集，故选项C错误， ，故选项D正确. 2．A【详解】因为，所以，所以， 所以，所以的虛部是2. 3．B【详解】因为，所以又， 则所以， 则， 4．A【详解】作出函数的图象如图： 设，且， 则函数与直线