2023--2024学年中考数学专题复习：二次函数的线段最值与面积问题综合

二次函数的线段最值与面积问题综合 1. 二次函数与不等式综合： 例1．已知抛物线y=x2﹣x﹣6的图象如图所示． （1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？ 1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？ （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 2．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4． （1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标． （2）试确定抛物线的解析式． （3）根据图像直接写出ax2+bx+c＞﹣x+6的x的取值范围． 2. 最短路径问题： 例2．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），C（2，﹣1）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点D的坐标； （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PB最短？若点P存在，求出点P的坐标；若P点不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P为二次函数对称轴上的点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m的值； （2）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）． 3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点 C（0，6）． （1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使|PB﹣PC|的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； 3.二次函数的面积问题 如何表示各图中阴影部分的面积？ 例3．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值及点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标． 1．如图，一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B，顶点为D． （1）填空：抛物线的表达式为 ． （2）抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△DBC的面积？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． D 例4．已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值． 1．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点． （1）求m的值及C点坐标； （2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点 D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值． 3．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，且B（2，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，连接PA，PC，求四边形PAOC面积的最大值，并求此时点P的坐标． 4.动点问题的函数图像问题 例5．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于