2023--2024学年中考数学专题复习：二次函数与三角形综合

二次函数与三角形综合 1.等腰三角形存在性问题 基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为等腰三角形，求点坐标．可以用几何法和代数法来解决． ①几何法：两圆一中垂； 分两大类进行讨论： （1）AB为腰时，分两类讨论： ①以A为圆心、AB为半径画圆弧（即AP=AB）； ②以B为圆心、AB为半径画圆弧（即BP=BA）． （2）AB为底时（即PA=PB）：作AB的垂直平分钱与抛物线的交点即为P， ②代数法：两点间距离公式 （1）假设未知点坐标，写出已知点坐标；利用两点间距离公式分别表示三边的平方； （2）分类讨论，两两相等得到三种情况； 总结：几何法好计算，但是需要画图，代数法不需画图，但是计算量大； 并且特别注意，千万小心三点共线的情况（舍取）。 2.直角三角形的存在性问题 基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标．也可使用几何法和代数法 ①几何法：两垂线一圆 （1）两垂线：分别以点A、点B为直角顶点时，过该点作AB的垂线，利用k1*k2=﹣1的性质求解； （2）一圆：以动点P为直角顶点时，以AB为直径作圆，此时圆周上的任意一点均可； ②代数法：两点间距离公式 （1）假设未知点坐标，写出已知点坐标；利用两点间距离公式分别表示三边的平方； （2）分类讨论，根据哪条边是斜边，利用勾股定理可以列三种方程； 3.等腰直角三角形的存在性问题 基本题型：已知一定点A，存在另外两个动点B、C，使得△ABC是等腰直角三角形； 方法为：分类讨论，利用三垂直模型构造全等，假设参数，利用线段相等，得到动点C的坐标，代入到其中一个的解析式内，求出参数 例1．已知抛物线图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）． （1）求该二次函数解析式． （2）在抛物线对称轴上是否存在点E，使△BCE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E坐标；如果不存在，请说明理由． 1．如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点 C（3，0）． （1）求A、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（0，6）， B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值? （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E． 连结DE，请问是否存在点P使△PDF为等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，直线y＝﹣x+2与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若PE＝2EF，求m的值； （3）点M在抛物线上，是否存在以BC为底的等腰△MBC，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 例2．如图，直线y＝﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a（x﹣4）2+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D． （1）求二次函数的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由． 1．如图，已知直线y＝x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值； （3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 例3．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A