2023--2024学年中考数学专题复习： 二次函数与四边形的综合

二次函数与四边形的综合 1.三定点平行四边形存在性问题 基本题型：已知三定点A、B、C，一动点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABCP为平行四边形，求点坐标．不同的分类形式可以使用不同的方法； a．对点法：利用中点坐标公式 b．平移法：根据平移之后的点的对应情况 其实两种方法，最后都可以得出一个类似的解题思路，只是其中的过程不同而已 2.二定点平行四边形存在性问题 基本题型：已知AB，抛物线，点P在抛物线上（Q或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标． 直接根据三定一动的思路，可以直接得出点的关系： 点P的横纵坐标，都可以由另外2个点的横纵坐标和－第3个点的横纵坐标；如 ； 因为不确定哪个坐标被减，所以有三种情况；大部分时候，计算量不大，少部分情况下，可能存在一定的计算量 3.菱形、矩形的存在性问题 特殊的四边形的存在性问题的解题方法需要综合三角形与三定一动的平行四边形的解法；一般都是两定两动； ①矩形的存在性：可以根据直角三角形的存在性先找到一个点，然后根据三定一动进行分类讨论求出另一个点； ②菱形的存在性：可以根据等腰三角形的存在性先找到一个点，然后根据三定一动进行分类讨论求出另一个点； 例1．如图，直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A（0、2）、B（4、0）两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）设N（x、y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AB的函数解析式为　 　，点M的坐标为　 　，；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　 　； （3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0）、C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1． （1）求二次函数的解析式； （2）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4）， C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与