2.5直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 【建议课时】2 【学习目标】 1、 结合图像理解直线与圆不同位置关系时的代数意义和几何意义； 2、 结合图像理解圆与圆不同位置关系时的几何意义； 3、 熟练掌握直线与圆的综合应用. 【知识点梳理】 1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的 关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d ＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【知识点点睛】 1、对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形． 例如求过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程，分析①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1， 得k＝， 所以切线方程为4x－3y＋1＝0， ②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线， 所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2. 所以解决此类问题时，先判断点的位置：当点在圆上时，有且只有一条切线；当点在圆外时，定有两条切线；若点在圆内时，不存在切线。结合图像更好理解和求解。 2、 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． 例如若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a的值分析可得±2或0 3、两圆的公共弦所在直线方程问题 圆：，圆： ①若圆与圆相交，则两圆的公共弦所在直线方程为： ； ②若圆与圆相外切，则表示公切线； ③若圆与圆的半径相等，则两圆的对称直线方程为： ； 4、圆的切线方程问题 （1） 圆的方程为，M(x0，y0)， ①若M(x0，y0)在圆上，则过M的切线方程为； ②若M(x0，y0)在圆外，则直线与圆的位置关系是相交； ③若M(x0，y0)在圆内，则直线与圆的位置关系是相离； （2）过圆外一点M(x0，y0)引圆的切线，切点为，则切线长公式 题型一 直线与圆的位置关系 例1（1）直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　) A．(，2)　　　　　　　　 　B．(，3) C. D. 答案D 解析：　当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜. （2）已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积最小为2，则k的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 答案 B 解析：　易知圆C的圆心C(0,1)，半径r＝1，∴S四边形PACB＝PA·AC＝PA＝＝，∴当|CP|最小，即CP⊥直线kx＋y＋4＝0时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的面积最小为＝2，得|CP|min＝，由点到直线的距离公式得|CP|min＝＝，∵k＞0，∴k＝2. （3）若圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________． 答案：[－3，－1]∪[1,3] 解析：∵圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，且圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，∴2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]． 【思维点睛】 判断直线与圆的位置关系一般有2种方法 (1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小． (2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法． 【变式训练】 1、若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1]　　　　　　 　B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C 解析：　由题意得圆心为(a,0)，半径为.圆心到直线的距离为d＝，由直线与圆有公共点可得≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.∴实数a的取值范围是[－3,1]．