2.4圆的方程讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三节 圆的方程 【建议课时】1 【学习目标】 1、 根据定义结合两点间距离公式能够推导圆的标准方程； 2、 理解一般方程中的条件要求； 3、 由点与圆的位置关系体会简单的线性规划问题. 【知识点梳理】 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圆心：， 半径： 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 【知识点点睛】 1、 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，对其进行配方转化得： ，观察等式，并结合不同曲线定义可得： ①当D2＋E2－4F＞0，该方程表示圆心：，半径：的圆； ②当D2＋E2－4F=0，该方程表示点：； ③当D2＋E2－4F0，该曲线不存在. 例如设a∈R，则“a＞1”是“方程x2＋2ax＋y2＋1＝0的曲线是圆”的(　　) A．充分不必要条件　　　　 　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1，即a2－1＞0，解得a＞1或a＜－1.所以当“a＞1”时，有a2－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a＞1或a＜－1，不一定得到a＞1.所以是充分不必要条件．所以答案是A 2、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系可利用两点间的距离公式理解：设圆心为(a，b)，若M(x0，y0)在圆内，则，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 例如若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，求实数a的取值范围.因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2＜5，解得－1＜a＜1.故实数a的取值范围是(－1,1)． 题型一 圆的方程 例1（1）已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是(　　) A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0 B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0 C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0 D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0 答案 C 解析：　⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝16，故圆心是(2,3)，半径是4，点M(－2,0)是⊙C外一点，显然直线x＋2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P(a，b)，则直线MP的斜率是，直线MP的方程是bx－(a＋2)y＋2b＝0，故解得故切线方程是7x＋24y＋14＝0，故选C. （2）已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________． 答案：6 解析：圆C：x2＋y2－2y＝0，转化为x2＋(y－1)2＝1，则圆心(0,1)到直线y＝x－1的距离d＝＝，由于AB为圆的直径，则点A到直线的最小距离为－1，此时点B到直线的距离为＋1，|PA|2＋|PB|2＝(－1)2＋(＋1)2＝6，即|PA|2＋|PB|2的最小值为6. （3）已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C的标准方程为________． 解析：∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)， 设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2， 依题意，得解得 ∴圆C的标准方程为x2＋2＝. 答案：x2＋2＝ 【思维点睛】 1．求圆的方程的2种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 2．确定圆心位置的3种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 注意 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝4