2 .1.2两条直线的位置关系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二节 两条直线的位置关系 【建议课时】2 【学习目标】 1、 熟练掌握两条直线平行与垂直的判定； 2、 熟练应用三种距离公式. 【知识点梳理】 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直： ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3．三种距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离 d＝ 【知识点点睛】 1、　 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 ，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．所以直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论： 当l1∥l2时，则且或，反之亦能证明平行； 当l1⊥l2时，则，反之亦能证明垂直. 例如已知P：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，则P是Q的(　　) A．充要条件　　　　　　　 　B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1. 所以P是Q的充要条件．即答案为A 2、　 在运用平行线间距离公式（d＝）时，易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．此处切记. 3、　 关于点P对称问题 ①点A关于点P对称点B坐标，根据对称性，即点P为点A与点B的中点，故点B坐标为 ②直线l1 Ax＋By＋C＝0关于点P对称的直线l2方程：两种方法 法一：设直线l2上点坐标为，则它点P对称点皆在直线l1：上.由①可知对称点坐标为，代入直线l1方程，A＋B＋C＝0，化简即可得到直线l2方程； 法二：在直线l1上任意找两个不同点，然后得到它们关于点P对称点坐标，即所在直线就是直线l2，我们可以根据两点式快速得到直线l2方程. 4、　 轴对称问题 ①点关于直线的对称： 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． 例如已知点A(7，－4)关于直线l的对称点为B(－5,6)，则求该对称直线l的方程 由题可得，直线l是线段AB的垂直平分线．因为A(7，－4)，B(－5,6)，所以kAB＝＝－，所以kl＝.又因为A(7，－4)，B(－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l的方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0. ②直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． 例如已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则求BC边所在直线的方程 分析A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．设A1(x1，y1)， 则有 解得所以A1(0,3)． 同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)． 所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0. 题型一 两条直线的位置关系 例1、