5.1 任意角和弧度制（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

5．1 任意角和弧度制（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）了解任意角的概念． （2）了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；体会引入弧度制的必要性． （3）掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式． 【过程与方法目标】 （1）类比数系的扩充，学生能说出任意角的概念，包含定义、表示和分类三个要素．并能说出其中蕴含的数学思想方法，即类比研究的方法、数形结合的思想方法等． （2）让学生归纳整理本节所学知识． 【情感态度价值观目标】 使学生感受到引入弧度制的意义，增加学生对数学学习的兴趣． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：将到范围的角扩充到任意角；终边相同的角的集合；弧度制；弧度与角度的互换． 教学难点：任意角的概念的构建；用集合表示终边相同角；弧度的概念． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：引导语前面我们学习了幂函数、指数函数和对数函数，知道每一类函数都可以刻画现实世界中一类现象的变化规律．现实世界中的运动变化现象是丰富多彩的，周而复始现象普遍存在，这种现象又该用什么函数来刻画?本章就要研究这个问题． 问题1：圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图，上的点以为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点的位置变化呢? 【破解方法】学生独立思考，联想到角的定义，容易构建出，它是以为端点，以射线为始边，按照逆时针方向旋转到终止位置形成的．从而认识到可以通过角的大小变化刻画点的位置变化． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题2：生活中随处可见超出范围的角．阅读教科书168页，回答下面的问题： （1）要准确地描述体操中的空翻动作，需要从几个方面描述? （2）要描述清楚图1中主动轮和被动轮的旋转，需要从几个方面描述? （3）一般地，要准确描述一个旋转现象，需要从几个方面描述? 图1 【破解方法】学生阅读教科书、回答问题．教师根据学生的回答再次明确要从两个方面才能准确描述这些现象：一是旋转的方向，二是旋转的度数． 问题3：回忆数系的扩充，为了刻画相反意义的量，引进了负数，将非负有理数扩充到了有理数．类比数系的扩充，如何定义问题2中的现象呢?请你阅读教科书第168页完成下面的任务： （1）按照旋转方向的不同，角可以分哪几类?并解释； （2）分别作出． 【破解方法】学生先阅读教科书，回答问题． 【归纳新知】任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 知识点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 问题4：我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．此时又如何对角进行分类，标准是什么? 【破解方法】生先独立完成，之后互相交流，再回答，教师予以补充． 【归纳新知】象限角 可以将角分为第一、二、三、四象限角，统称为象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为它不属于任何一个象限． 问题5：象限角之间会有怎样的关系呢?我们知道，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一呢?如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系?不妨将上述问题具体化：（1）角的终边是，那么以为终边的角还有哪些?请你列举几个，并写出它们与角的关系．（2）角是与角终边相同的任意一个角，那么二者之间有什么关系?与一角终边相同的角用集合的形式如何表示? 【破解方法】学生自主完成，之后展示交流． 【归纳总结】终边相同的角 终边相同的角为 常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 问题6：我们知道，度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，为什么度量同一种量需要用不同的单位制? 【破解方法】不同的单位制会为解决问题带来方便． 问题7：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢?如图，射线OA绕端点旋转到OB形成角．在旋转过程中，射线OA上的点（不同于点）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角．设，点所形成的圆弧的长为．回忆初中所学知识，弧长如何用圆心角来表示? 【破解