3.1函数及其表示学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1节 函数及其表示 【建议课时】2 【学习目标】 1、 理解函数的有关概念，掌握其定义域、解析式的常用求法； 2、 理解分段函数的概念，能够解决分段函数不同应用。 【知识点梳理】 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：两个函数能成为同一函数的条件是定义域、对应关系、值域都相同。 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 【知识点点睛】 1、 判断两个函数是否为相等函数，是要判断三要素是否相同。由函数概念我们知道定义域和对应关系一旦确定，则值域随之而确定，所以如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 例如 下列四组函数中，表示相等函数的是(　　) A．f(x)＝x2，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 D．f(x)＝，g(x)＝x－3 分析可知选项A中，f(x)＝x2与g(x)＝的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为{x|x＞0}，对应关系也相同；选项C中，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝(x－1)0的定义域为{x|x≠1}；选项D中，f(x)＝的定义域为{x|x≠－3}，g(x)＝x－3的定义域为R.所以答案为B 2、 函数的定义域即是使解析式有意义的自变量的取值范围，所以求解的方法一般分为三种： （1） 当解析式中含有特殊格式时，例如，解析式中既有分母，也有对的偶次开根，所以我们可以列不等式组进行求解，解得，所以定义域为 （2） 对于复合函数的定义域问题，若已知的定义域为，其复合函数的定义域通过解不等式得到。例如已知的定义域为，则数的定义域通过解不等式，得，即所求定义域为 （3） 实际问题或几何问题除了要考虑解析式本身有意义外，还应该是使实际问题有意义，如三角形的边长必须大于零等等 3、求函数解析式时，一般常用4种方法 （1）配凑法 由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，以便得到的表达式。例如，经验可知，所以，所以 （2）换元法 已知复合函数的解析式，可用换元法此时要注意新元的取值范围.例如，令，则，所以，由 所以 （3）待定系数法 若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则可用待定系数法。例如已知是一次函数，且满足，求 此时可设 ，则 故 （4） 解方程组法 已知关于与或与的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 例如定义在内的函数满足，求的解析式。 当时，有 ① 以代替，得 ② 由①②消去得 3、 分段函数是指不能用一个统一的解析式表示的函数，它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的连续与间断完全由对应关系来确定。 题型一 求函数定义域 例1 （1） y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　) A．(－2,0)∪(1,2)　　　 　B．(－2,0]∪(1,2) C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2] 答案 C 解析：　要使函数有意义，则 解得x∈(－2,0)∪[1,2)， 即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． （2）已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 答案：[－1,2] 解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]． （3）若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________． 答案：[－2,2] 解析：若函数f(x)＝的定义域为实数集R， 则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2， 即实数a的取值范围为[－2,2]． 【思维点睛