精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

南京师大附中2023—2024学年度第1学期 高二年级期中考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，包括单选题（第1题～第8题）、多选题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 设为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5或 3. 若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若,则抛物线C的方程为（ ） A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x 7. 设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，满足且，，若的“欧拉线”与圆：（）相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上点到直线的最小距离为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 点在圆上，当最小时， D. 点圆上，当最大时， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 众数为4 C. 方差为4 D. 中位数为5 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 12. 已知曲线：是双曲线，下列说法正确是（ ） A. 直线是曲线的一条渐近线 B. 曲线的实轴长为 C. 为曲线的其中一个焦点 D. 当为任意实数时，直线：与曲线恒有两个交点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 过直线与交点，且垂直于直线的直线方程是______. 14. 已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______________． 15. 设是正实数，已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是______. 16. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 18. 设等差数列的前项和为.已知，. （1）求； （2）当为何值时，最小？并求此最小值. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，且满足. （1）求角值； （2）若，且的面积为，求的周长. 20. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标； （2）过焦点直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 21. 已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，. （1）若点的坐标为，证明：直