4.5 函数的应用（二）(12种题型) 专题讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5 函数的应用（二） 1、函数的零点与方程的解： 对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点，于是，二次函数的两个零点是。 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标。 所以，方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点。 由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点。一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。 2、函数零点存在定理： 如果函数在区间［，］上的图象是一条连续不断的曲线，且有。 那么，函数在区间（，）内至少有一个零点，即存在（，），使得，这个也就是方程的解。 3、要点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个。若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定。 ②若函数在区间［，］上有，在（，）内也可能有零点，例如在［，］上就是这样的。故在（，）内有零点，不一定有。 ③若函数在区间［，］上的图象不是连续不断的曲线，在（，）内也可能是有零点，例如函数在［，］上就是这样的。 4、零点个数的判断方法： （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点。 （2）定理法：利用零点存在定理，函数图象在区间［，］上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点。 （3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数。 ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数。容 5、判断函数零点所在区间： ①将区间端点代入函数求函数的值； ②将所得函数值相乘，并进行符号判断； ③若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 6、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法： ①直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式。 ②数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围。 ③分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题。 7、二分法的概念： 对于在区间［，］上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 8、利用二分法求函数零点近似值： 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间［，］，验证。 （2）求区间（，）的中点。 （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时（，）），则令； ③若（此时（，）），则令。 （4）判断是否达到精确度：若｜｜＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤２～４。 【题型1】求函数的零点 1．函数f（x）＝x2﹣3x﹣4的零点是（　　） A．1，﹣4 B．4，﹣1 C．1，3 D．不存在 2．函数f（x）＝4 x﹣2 x﹣2的零点是（　　） A．（1，0） B．1 C． D．﹣1 3．函数的零点是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，0）或（3，0） C．﹣1，3 D．1，﹣3 4．已知函数f（x）的零点为（　　） A． B．﹣2，0 C． D．0 5．已知x1是函数f（x）＝2 x+x﹣2的零点，x2是函数g（x）＝log2（x﹣1）+x﹣3的零点，则x1+x2的值为（　　） A．17 B．5 C．12 D．3 【题型2】根据零点求函数解析式的参数 1．已知f（2x+1）＝3x﹣2，若a是函数y＝f（x）﹣4的一个零点，则a的值为（　　） A．2 B．5 C． D． 2．若二次函数y1＝x2﹣ax+b的两个零点为2，3，则二次函数y2＝bx2﹣ax﹣1的零点是（　　） A．﹣1， B．1， C．， D．， 3．若函数f（x）＝ax+b只有一个零点2，那么函数g（x）＝bx2﹣ax的零点是（　　） A．0，2 B．0， C．0， D．2， 4．已知2是函数f（x）＝x n﹣8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．4 D．3 5．已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【题型3】确定零点所在的区间（零点存在性定理的应用） 1．函数f（x）＝log2 x的零点所在的区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2