4.3对数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3对数 目标导航 课程标准 学习目标 ①理解对数的概念、掌握对数的性质。 ②掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 ③理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 ④能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。 通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题. 自主预习 知识点一 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是 .知识点二 常用对数与自然对数 1.常用对数：通常我们将以 为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为 . 2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把logeN记作 .知识点三 对数的基本性质 1.负数和零 对数. 2.loga1＝ (a>0，且a≠1). 3.logaa＝ (a>0，且a≠1). 对数恒等式知识点四 1. a＝ (a>0且a≠1，N >0). 2.logaab＝ (a>0，且a≠1)． 知识分类夯实 一、对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 二、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 三、指数式与对数式的相互转化 当且， 四、对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 五、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 六、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 大招秘籍 二级结论：大招1 ①； ②； ③； ④； ⑤. 对数混合运算的一般原则 大招2 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 大招3 对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 考点逐个突破 对数的定义题型一 【例1】 下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确， 根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，故选：C 指对数的互化题型二 将下列指数式与对数式互化：【例2】 (1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)． 【解析】(1)因为，所以有：. (2)因为，所以有：. (3)因为，所以有：. (4)因为，所以有：. (