4.5 增长速度的比较（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 4.5 增长速度的比较 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 高一必修第二册（2019人教B版） ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度.（重点） 2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.（难点） 学习目标 新知导入 情景一： 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题: 有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨, 某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子, 在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子? (A)5年 (B)7年 (C)8年(D)9年（E）永远也买不起 你能给出这道题的答案吗? 情境中的问题涉及增长速度的比较. 我们已经知道,函数在区间 时)或, 时上的平均变化率 新知探索 知识点一：平均变化率 也就是说,平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比,这也可以理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位.因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 例如,当时,容易算 这就是说,自变量每增加1个单位,将增加2个单位,而将增加3个单位. 这也就意味着,即,但当足够大时,必将有 再例如,当时,则 == 新知探索 知识点一：平均变化率 由此可知,在内,自变量每增加1个单位,区间长不变的条件下,端点数值之和越大,的函数值增加越快.例如,在区间 上的平均变化率为1, 在区间上的平均变化率为3.从图像上来看，线段AB所在直线的斜率小于线段BC所在直线的斜率. 新知探索 知识点一：平均变化率 【典例】已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 即时训练 知识点一：平均变换率 【解析】Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B. 教材例题 【典例1】已知函数,分别计算函数在区间与上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律. 【解析】因为所以:在区间上的平均变化率为在区间上的平均变化率为4不难看出,当自变量每增加1个单位时, 区间的左端点值越大,函数值增加越快. 教材例题 【典例2】已知函数,分别计算这三个函数在区间上的平均变化率,并比较它们的大小. 【解析】因为， =，又因为时,有，,因此在区间上, 的平均变化率最大, 的最小. 例2的结论也可用图4-5-2 来直观理解. 通过例1和例2的计算可以看出,当自变量每增加1个单位时,随着自变量的无限增大,的函数值增长会越来越快,而且比函数 和函数的增长速度都快. 一般地,当时,指数函数都具有这个特征.也正因为如此,人们一般将类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长),将类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).例如,《人民日报》2016年8月24日的一篇文章中提道:“我们要在传统媒体有线性增长的基础上,使新兴媒体有指数级的增长." 本节情境与问題中的房价是指数增长的,而攒的钱是线性增长的,因为指数增长的速度会越来越快,因此在题目给定的条件下,永远也买不起房子,这可通过下表的计算结果（精确到1万元）看出. 年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 房价万元 220 242 266 293 322 354 390 429 472 攒的钱万元 40 80 120 160 200 240 280 320 360 需要注意的是,前述面试题中的情形在现实生活中是不可能发生的,因为房价不可能按照每年的速度永远增长下去,而且买房时可以选择按揭贷款等. 课堂练习 【训练1】当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的应是(　　) A.y＝5x B.y＝log5x C.y＝x5 D.y＝5x 【解析】几种函数模型中，指数函数增长速度最快，故选D. 课堂练习 【训练2】某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 【解析】根据各类函数的增长特点易知选D. 课堂练习 【训练3】当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　) A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>