4.4 幂函数（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 4.4 幂函数 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 高一必修第二册（2019人教B版） ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（重点） 2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1， 图像，理解它们的变化规律.（难点） 学习目标 新知导入 情景一：我们已经知道,在关系式 中,当底数为大于 0且不等于1的常数时:如果把作为自变量、作为因变量,则就是的指数函数;如果把作为自变量、 作为因变量,则就是 的对数函数(即). 那么,当为常数时,能否将底数作为自变量、作为因变量来构造函数关系呢? 在关系式中,以为自变量、为因变量构造出来的函数就是本节我们要讨论的幂函数. 新知导入 情景二：函数y＝xα与指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)有什么区别？ 提示：函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量. 尝试与发现 我们以前学过函数,这三个函数的解析式有什么共同的特点吗?你能根据指数运算的定义,把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗? 新知探索 知识点一：幂函数的概念 一般地,函数称为幂函数,其中为常数.上面提到的函数都是幂函数. 注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，满足： (1)指数为常数， (2)底数为自变量， (3)底数系数为1. 形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数. 新知探索 知识点一：幂函数的概念 【典例】下列所给的函数中是幂函数的为(　　) A.y＝2x5 B.y＝x3＋1 C.y＝x－3 D.y＝3x 即时训练 知识点一：幂函数的概念 【解析】选项C符合y＝xα的形式，对于A，系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.故选C. 下面我们通过具体函数来研究幂函数的一些性质. 首先来研究函数. 新知探索 知识点二：幂函数的性质 尝试与发现 判断 这些数中,哪些在函数的定义域内,求出对应的函数值,并填写下表(只需填在定义域内的数及对应的函数值),由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性,尝试说明理由. 0 1 2 3 4 0 1 2 新知探索 知识点二：幂函数的性质 由于,由此不难知道,函数的性质有: (1)定义域是 (2)值域是： (3)奇偶性是：非奇非偶函数 (4)单调性是：在上单调递增 根据以上信息可知,函数的图像上的点,除了原点,其余点都在第一象限,通过描点,可作出其图像. 新知探索 知识点二：幂函数的性质 下面来研究函数.尝试与发现 给出研究函数的性质与图像的方法,并用你的方法得出这个函数的性质: 新知探索 知识点二：幂函数的性质 新知探索 知识点二：幂函数的性质 (1)定义域是： (2)值域是： (3)奇偶性是:奇函数 (4) 单调性是:在上单调递增 (5)图中已经作出了函数 的图像,在其中作出函数的图像. （2）如果,则幂函数的图像通过原点, 并且在区间上是增函数. （3）如果,则幂函数在区间 上是减函数,且在第一象限内:当 从右边趋向于原点时,图像在轴右方且无限地逼近轴;当无限增大时,图像在 轴上方且无限地逼近轴. 一般地,幂函数,随着的取值不同, 函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同,但也有一些共同的特征: 新知探索 知识点二：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点. 【典例】3.17－1与3.71－1的大小关系为________. 即时训练 知识点二：幂函数的性质 【解析】由于幂函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，∴3.17－1>3.71－1. 教材例题 【典例1】比较下列各题中两个值的大小: (1)和;(2)和. 【解析】(1)考察幂函数,因为其在区间 上是增函数,而且, 所以2.. （2）考察幂函数,因为其在区间上是减函数,而且, 所以 教材例题 【典例2】讨论函数的定义域、奇偶性. 【解析】因为,所以不难看出函数的定义域是实数集. 记,则 所以函数是偶函数.因此,函数的图像关于轴对称. 课堂练习 【训练1】(多选)已知幂函数f(x)的图像经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(27，\f(1,3)))，则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上为增函数 B.在(0，＋∞)上为减函数 C.奇函数 D.定义域为R 【解析】设幂函数f