13.5 逆命题与逆定理（第3课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

数学（华东师大版） 八年级 上册 13.5 逆命题与逆定理 第3课时 角平分线 第13章 全等三角形 学习目标 1、会叙述角平分线的性质及判定; 2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题; 3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 　 温故知新 如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？ 射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线. A O B C 　 导入新课 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 问题情境 讲授新课 知识点一 角平分线的性质定理 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 讲授新课 下面我们来证明刚才得到的结论. D P A C B E O 已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB . 求证:PD=PE. 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. 讲授新课 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 讲授新课 典例精析 【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 试说明：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 讲授新课 A B C D E F 解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ △BDE ≌△CDF. ∴ EB=FC. BD=CD， ∠B=∠C， ∠DEB=∠DFC， 讲授新课 练一练 （1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ). 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 1、判断下列的写法是否正确？ 理由： 没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离. 讲授新课 (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 理由： 无法确定点D在∠BAC的平分线上. 在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可． 讲授新课 知识点二 角平分线的判定定理 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ t条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 讲授新课 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. B A D O P E 讲授新课 证明： 作射线OP， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△