13.5 逆命题与逆定理（第2课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

数学（华东师大版） 八年级 上册 13.5 逆命题与逆定理 第2课时 线段垂直平分线 第13章 全等三角形 学习目标 1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算. 2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力. 　 温故知新 C A B P M N 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？ PA与PB完全重合 　 导入新课 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？ 公 路 A B 讲授新课 知识点一 线段垂直平分线的性质 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 讲授新课 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明： ∵MN ⊥AB（已知）, ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). AC=BC, ∠ACP=∠BCP, PC=PC, M N P A C B 你能用一句话来描述刚得到的结论吗？ 讲授新课 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识归纳 M N P A C B 几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC）， ∴PA=PB. 讲授新课 典例精析 【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和点B为圆心，以大于 AB一半的长为半径作弧， 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线． • • A B C D 两弧相交于点C和D； 讲授新课 练一练 1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小. 解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°， ∠EBD=∠A=50°， ∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°. 讲授新课 知识点二 线段垂直平分线的判定定理 探索 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一直线是一线段的垂直平分线 该直线上的点到线段两端的距离相等 点到线段两端的距离相等 该点在线段的垂直平分线上 逆命题是否是一个真命题？ 讲授新课 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB． 讲授新课 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， 故∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA 和Rt△QCB中， ∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）. ∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 讲授新课 知识要点 线段垂直平分线的判定 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 讲授新课 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 做一做 怎样证明这个结论呢? 讲授新课 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线上 讲授新课 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上，