2.3 确定二次函数的表达式（第二课时）课件 2022--2023学年北师大版九年级数学下册

2.3用待定系数法 求二次函数的解析式 1.一般式：y=ax2+bx+c（a≠0) 2.顶点式：y=a(x-h)2+k （a≠0) 3.交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0) 二次函数的解析式的形式 例1 一个二次函数的图象过点 （－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求其解析式 解：设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c. 由条件得 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解得 a=2, b=-3, c=5 所求二次函数是 y=2x2-3x+5 已知抛物线上任意三点时， 通常设为一般式 解： 设所求的二次函数为　 解得 ∴所求二次函数为 y=x2-2x-3 1.一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） （－1, 0）三点，求这个函数的解析式？ 练习 待定系数法 一、设 二、代 三、求 四、还原 ∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0） ∴ c=-3 a-b+c=0 16a+4b+c=5 a= b= c= 1 -2 -3 x=0时,y=-3; x=4时,y=5; x=-1时,y=0; y=ax2+bx+c 例2：抛物线的顶点是（1，2） 且过点（2，3)，求其解析式 又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k ∵顶点是（1，2） ∴y=a(x-1)2+2， ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时， 通常设为顶点式 练习： 1.二次函数的图象经过点（4，－3）， 当x=3时有最大值4，求其解析式； 已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为（3,4）， 所以设为顶点式较方便 y=-7(x-3)2+4 也就y=-7x2+42x-59 例3：抛物线与x轴交于（1,0）、（3,0） 且图像过（0，-3），求其解析式。 解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2) 已知抛物线与x轴的交点 或交点横坐标时，通常 设为交点式（两根式） 由抛物线与与x轴交于（1,0）、（3,0） ∴y=a(x-1)(x-3), 又过（0，-3）， ∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3 解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1） 练习 1.抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 且过点M（0,1），求抛物线的解析式。 y o x 由条件得：点M( 0,1 )在抛物线上 所以：a(0+1)(0-1)=1 解得 a=-1 故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=-x2+1 思考： 用一般式怎么解？ 练习： 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过 A(0，－5)，B(5，0)两点， 它的对称轴为直线x＝2， 则其解析式是______________。 分析：因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，又B(5，0)关于直线x＝2的对称点坐标为（-1,0），所以可以设为交点式， 类似例3求解，当然也可以按一般式求解。 y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5 练习：抛物线与x轴的交点A（-2，0）， B（1，0）且经过点C（2，8）求其解析式 解法1：设这个抛物线的表达式为y=ax2+bx+c 分析：抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，因此可以设一般式求解析式 ，也可以用交点式。 4a-2b+c=0 a+b+c=0 4a+2b+c=8 解得 a=2 b=2 C=-4 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8）求该抛物线的解析式 解法2：设抛物线的解析式为y=a（x+2)(x-1) 解得a=2 所以该抛物线的表达式为 y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4 把点C（2，8）代入上式，得 a(2+2)(2-1)=8 课堂小结 求二次函数解析式的一般方法： 1.已知图象上三点或三对对应值，