热点专题05 椭圆方程及几何性质-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

专题05椭圆方程及几何性质 知识点一 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 知识点三 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 知识点四 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 3．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 题型一 椭圆的定义 【例1】设满足：，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在 【例2】椭圆上一点P到该椭圆一个焦点的距离为4，则点P到另一个焦点的距离为 . 【变式1-1】校考期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【变式1-2】已知、，动点满足，则点的轨迹是 （    ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段 【变式1-3】在平面直角坐标系中，，，平面中动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．直线 D．椭圆或线段 题型二 椭圆的焦点三角形 【例3】设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例4】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则 【变式2-1】已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，，若锐角外接圆的半径为4，则的面积是 . 题型三 椭圆的简单几何性质 【例5】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【例6】（多选）已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B．的离心率为 C．的短轴长的取值范围是 D．的值越小，的焦距越大 【变式3-1】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【变式3-2】（多选）已知曲线：是长轴与短轴分别在直线与上的椭圆.整点指的是横、纵坐标均为整数的点.则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为 C．若点在上，则且 D．经过6个整点 【变式3-3】（多选）《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧.油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（    ） A．该椭圆的长轴为 B．该椭圆的离心率为 C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为 题型四 求椭圆的标准方程 【例7】，分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是10，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．