第14章 全等三角形判定定理及模型 学案 2023--2024学年沪科版八年级数学上册

全等三角形判定总结 判定一：SSS 【例1】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 图1 图2 图3 【变式1】如图2，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，连接AF． （1）∠B与∠C相等吗？请说明理由． （2）若∠B＝40°，∠DFC＝20°，若AF平分∠BAE时，求∠BAF的度数． 【变式2】如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE． （1）求证：△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度数． 【练习】如图3两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，其中正确的结论有_______． 判定二：SAS 【例2】如图1，若∠ABC＝∠DCB，能用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB 图1 图2 图3 图4 【变式1】如图2，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（　　） A．50° B．65° C．70° D．80° 【变式2】如图3，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式3】如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB． （1）求证：△ABG≌△CFB； （2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的关系． 【练习1】如图4，在中，已知， ，．若，则的度数为__________． 【练习2】如图5，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．   图5 图6 【练习3】如图6， AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为_______． 【手拉手模型】 【例3】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【变式1】如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）； （3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明． 【变式2】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作△ADE，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【练习】在中，且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°． (1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由； (2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积． 【 “倍长”中线模型】 【例4】【阅读理解】如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 【解决方法】如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　（用字母表示）；长的取值范围是　 　． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】（2）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG． 【变式2】【发现问题】如图1，在中，若，，求边上的中线 的取值范围． 【解决方法】延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多