2024届高考数学一轮复习讲义：空间直线、平面的垂直

课题：空间直线、平面的垂直 知识点 1．垂直的定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作： ．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们的唯一公共点 叫做垂足。 2．直线与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行 ⇒a∥b 3．平面与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 【注1】在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直” 【注2】直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系。 【注3】应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直。口诀为：见到垂面做垂线． 【注4】线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直 （1）判定直线和平面垂直的方法：①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． （2）直线和平面垂直的性质：①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的判定方法：①定义法．②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．（2）平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 【注5】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 【注6】判定面面垂直的方法：（1）面面垂直的定义．（2）面面垂直的判定定理（a⊥β， ⇒α⊥β）． 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 【注7】 1．垂直关系的转化： 2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键． 典型例题 例1如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（　　） A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 例2 m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（ ） A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，∥β，则α∥β C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β 例3空间中，设表示直线，，表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B ． 若，，则 C．若，，则 D． 若，，则 例4设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是（ ） A．若则　　 B．若则 C．若则　　　 D．若，则 例5如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（    ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 例6已知 ， 是两个不重合的平