专题06 对数与对数函数-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题06 对数与对数函数 一.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 二、对数的性质 1.对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN 2.loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N 3.对数恒等式alogaN＝N{解读：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．} 三、对数的运算性质 （1）loga(M·N)＝logaM＋logaN （2）loga＝logaM－logaN （3）logaMn＝nlogaM(n∈R)． （a>0，且a≠1，M>0，N>0） 四、换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 五、对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).六、对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 7、 反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 8、 常用结论 1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； (2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 题型01： 对数的概念与应用 【典例1】（2023上·北京·高一北京市第二十二中学校考期中）有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【典例2】（2023·上海·高一专题练习）在对数式中，实数的取值范围是 ． 题型02： 指数式与对数式的互化 【典例3】（2020·全国·统考高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023上·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【规律方法】 对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图： 并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 题型03： 对数的运算 【典例5】（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【典例6】（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2. 运用对数恒等式时注意事项 (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 题型04： 对数运算性质的应用 【典例7】（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【典例8】（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中） =（     ） A．2 B．0 C． D． 【规律方法】 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型05： 应用换底公式的化简、求值 【典例9】（2023上·江苏连云港·高一校联考期中）十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､