精品解析：江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

南昌十中2023-2024学年上学期期中考试 高二数学试题 命题人：黄荣 审题人：程丽军 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1.答题前，请您务必将自己的姓名､考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上. 2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠､不破损. 3.考试结束后，答题纸交回. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点到直线的距离等于（ ） A. B. C D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，项的系数是（ ） A. 56 B. －56 C. 28 D. －28 4. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知两点，从点射出光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，可能有多个选项符合题目要求的. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线的倾斜角为 C. 直线必过定点 D. 过点在和轴上的截距相等的直线只有 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 11. 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的离心率为 D. 12. 下列说法不正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是. B. 双曲线与椭圆的焦点相同. C. 、为椭圆左右焦点，在该椭圆上存在点满足 D. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有一个. 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则__________. 14. 已知直线与椭圆交于两点，则__________. 15. 现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是_____（用数字作答）． 16. 已知平面上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是__________（填序号）. ①；②；③；④ 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. （1）计算：； （2）求值：. 18. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ （3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 19. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线，求： （1）求圆心为的圆的标准方程： （2）设点在圆内，过点最长弦和最短弦分别为和，求四边形的面积 20. 双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 21. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：. 22. 已知抛物线：的焦点为； （1）求抛物线的方程； （2）若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹方程； （3）过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两