3.2.1双曲线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 仁寿一中北校区 李安祥 目录 CONTENTS 1 2 双曲线的定义 双曲线的标准方程 2 学习目标 1.领会双曲线的定义，与椭圆的定义进行比较,并加以区分. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 3 1.椭圆的定义: 平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 2.椭圆的标准方程: 问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 知识回顾 双曲线型自然通风冷却塔 法拉利主题公园 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。   问题导学 新知探究 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为 若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线. 思考1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 一、双曲线的定义 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 分3种情况来看： 思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 (即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M 设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c), 则有 二、双曲线标准方程 ① 建系: 如图示，建立平面直角坐标系. ② 设点： ③ 列式： O • • • M 设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c), 则有 二、双曲线标准方程 ① 建系: 如图示，建立平面直角坐标系. ② 设点： ③ 列式： O • • • M ④ 化简整理得： 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.   尝试与发现 思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ O • • • M 这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2. 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P 到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程. 学以致用 例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到. 学以致用 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似, 1.可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值. 2.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂. 3.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程. 归纳总结 双曲线两种标准方程的特点 ① 方程用“－”号连接； ② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定； ③ c2=a2+b2 ； ④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上. O M F2 F1 x y F2 F1 M x O y 课堂小结 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c