19.5角的平分线（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

沪教版八年级上册 第 19 章 几何证明 19.5角的平分线（第2课时） 学习目标 1．进一步理解巩固线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理； 2．能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题； 3．通过探索和证明，发展推理意识和能力. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 [知识回顾] 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 题设、结论 [“互逆”的思想] 逆命题 逆定理 定理 命题 逆命题 逆定理 定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 [知识回顾] 例题2 已知：CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别联结CA、CB、EA、EB.[来源:] 求证：∠CAE=∠CBE. 分析：要证明∠CAE=∠CBE，可以通过△CAE≌△CBE来达到.也可以通过∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA来达到. 例题2 已知：CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别联结CA、CB、EA、EB.[来源:] 求证：∠CAE=∠CBE. 证明：∵ CD垂直平分线段AB（已知）, ∴EA＝EB， CA＝CB（线段垂直平分线上的任意 一点到这条线段两个端点的距离相等）. 在△CAE与△CBE中， （已证） （已证） （公共边） ∴△CAE≌△CBE（S.S.S）. ∴∠CAE=∠CBE（全等三角形的对应角相等）. 例题2 已知：CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别联结CA、CB、EA、EB.[来源:] 求证：∠CAE=∠CBE. 另解： 证明：∵ CD垂直平分线段AB（已知）, ∴EA＝EB， CA＝CB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）. ∴∠CAB =∠CBA，∠1=∠2.（等边对等角） ∴∠CAB－∠1 =∠CBA－∠2.（等式性质） 即∠CAE=∠CBE. 例题3 已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是 点D、E；BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC. 分析：要证明OB=OC，只需要证明△ODB≌△OEC，垂直和对顶角已经提供了足够的角的信息，只需要再找一组对应边即可.利用角的平分线的知识得到OD=OE. 证明：∵AO平分∠BAC（已知），CD⊥AB，BE⊥AC（已知）， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°（垂直的意义），且OD=OE（在角的平分线上 的点到这个角的两边的距离相等）. 在△ODB与△OEC中， ∴△ODB≌△OEC（A.S.A） ∴OB=OC（全等三角形的对应边相等）. （已证） （已证） （对顶角相等） 例题3 已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是 点D、E；BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC. 练习 判断下面的证明过程是否正确，并说明理由. 已知：点D是射线AP上的一点，点E、F分别在AB、AC上，且DE＝DF. 求证：AP平分∠BAC. 证明：∵点D是射线AP上的一点，且DE＝DF（已知）， ∴AP平分∠BAC（在一个角的内部且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上）. 回答：错误.因为点到线的距离是由垂线段的长度表示的， 所以必须由垂直这个条件才能够使用角的平分线性质定理及其逆定理. 1.已知:如图,在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,AC=AE，AD 平分∠CAB,交BC于点 D，联结 DE，求证:DE是AB 的垂直平分线 课本练习 【解析】证明：∵AD平分∠CAB，∴∠DAE=∠CAD ∵AC=AE，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS） ∴∠AED=∠C=90°∴DE⊥AB， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=90°-∠B=60°， 2.如图,在△ABC中，∠B-115°,AC 的垂直平分线与AB 交于点 D,联结 CD.如果∠BCD与∠DCA的度数比为3:5,那么∠ACB的度数是多少? 【解析】设∠BCD、∠DCA的度数分别为3x，5x ∵AC的垂直平分线与AB交于点D，∴DA=DC ∴∠A=∠DCA=5x， ∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=180°-115°=65° ∴5x+5x+3x=65°，解得：x=5° ∴∠ACB=3x+5x=8x=40° 3.判断下面的证明过程是否正确,并说明理由. 已知:如图，点D是射线AP上的一点，点E、F分别在AB、AC上， DE=DF 求证:AP平分∠BAC. 证明:∵点D是射线AP上一点,且DE=DF(已知), AP平分∠BAC(在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 【解析】错误。因为已知中缺少条件：DE⊥AB，DF⊥AC 1. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一