北京市景山学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

北京景山学校2023—2024学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 注意事项 （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷。 （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁。 （3）本试卷共 5 页，共 三 道大题， 21 道小题。考试时间 120 分钟。 （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 1． 选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合A＝{x| x1}，B＝{﹣3，1，2，4}，则A∩B等于（　　） A．{﹣3，1} B．{2，4} C．{1，2，4} D．{﹣3，1，2} 2．复数满足＝，则||＝（　　） A．1 B． C．2 D． 3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是 A. B. C. D. 4．已知向量．若，则m＝（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 5．经过原点和点（3， 3）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（　　） A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 C． D．（x+1）2+（y﹣2）2＝5 6. 在△ABC中，“tanA＞”是“A的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 8．已知直线y＝kx+1与圆x2﹣4x+y2＝0相交于M，N两点，且，那么实数k的取值范围是（　　） A． B． C．k ≥0或 D． 9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在上单调，且，则ω的取值不可能为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点， 则以下说法中不正确的是（　　） A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是 C. 若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF∥平面B1CD1 D. 若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为圆上的一段弧 二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数f（x）ln（x﹣1）的定义域是　 　． 12. 已知椭圆C：的两个焦点分别为，点P在C上，且，则椭圆C的离心率为 　 　. 13. 已知数列的前项和为，且，，则 　 　;若，则的最小值为　 　． 14．设函数，若f（x）的值域为（﹣∞，+∞），则a的取值范围是 　 　． 15． 已知直线l1：与l2：相交于点P，直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…，记点的横坐标构成数列{xn}，给出下列四个结论： ①点 ； ②数列{x2n}单调递减； ③ ④数列{xn}的前n项和Sn满足：2Sn+1+Sn＝4n+3. 其中所有正确结论的序号是________． 三．解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。） 16．已知△ABC中， ． （I）求B的大小； （II）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积． 条件①； 条件②b＝2； 条件③ . 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知函数，且. （I）求的值及的最小正周期; （II）若，且,求实数的最大值. 18． 如图，在三棱柱中，⊥平面，是等腰直角三角形， ，分别是棱的中点． （I）证明：∥平面; （II）求平面与平面夹角的余弦值. 19．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，焦距为，点在椭圆上． （I）求C的方程； （II）过点的任意直线与椭圆C交于M，N（不同于A1，A2）两点，直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2．试问是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．已知函数. （I）当时，求曲线在点处的切线方程； （II）讨论函数的单调性； （III）当时，设，若有两个不同的零点，求参数t的取值范围. 21．已知{an}是无穷数列，a1＝a，a2＝b，且对于{an}中任意两项ai，aj（i＜j），在{an}中都存在一项ak（j＜k＜2j），使得ak＝2aj﹣ai