24.1.2 垂直于弦的直径 学案 2023--2024学年人教版九年级数学上册

第2课时 垂直于弦的直径 班级： 姓名： 例1：探究“圆的对称性” 1．同学们，你能找出右边这个圆的圆心吗？说一说你的方法. 2．问题：圆纸片折叠时，两个半圆 . ( 圆是 图形 ，其对称轴是任意一条过 的直线. )由此可知： 证明：如图，点P为⊙O上任意一点，AB为⊙O的任意一条直径，请说明⊙O关于直线AB对称，补 全下面的说理过程. 证明：过点P作PM⊥AB于点M，并交⊙O于点P'，连接OP、OP'. 在△OPP'中，　 ，且PP'⊥AB， ∴　 　(等腰三角形三线合一)， 即　 　是PP'的垂直平分线， ∴圆上任意一点P关于直线AB的对称点也在圆上， ∴⊙O关于直线　 　对称. 例2：探究“垂径定理” 3．动手操作，观察猜想：如图，AB是圆形纸片⊙O的一条弦: （1）请你作直径CD⊥AB于M. （2）图中有哪些相等的线段（半径除外）和弧？说一说你的理由. 相等的线段： ；相等的弧： . ( 垂径定理：如果直径 弦，那么这条直径 这条弦，并且 弦所 对的 . )由此可知： 几何语言表达：（如右图） ∵CD为直径（或过圆心），CD⊥AB ∴AM＝ 、＝ 、 ＝ . 4．强化理解： 下列图形能否利用垂径定理，得到AM=BM或者弧相等？为什么？ （ ） （ ） （ ） （ ） 所以， 例3：探究“垂径定理的逆定理” 5．如右图，若直径CD平分弦A B ，则： ①直径CD是否垂直于弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧？如何证明？ ②如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？ ③你能用一句话总结这个结论吗？ 由此可知： ( 垂径定理的逆定理：如果直径 弦（不是直径），那么这条直径 这 条弦，并且 弦所对的两条弧. ) 几何语言表达：（如上图） ∵CD为直径（或过圆心），AM＝BM ∴CD AB、＝ 、 ＝ . 6．强化理解： 下列图形中能否利用垂径定理的逆定理，得到CD⊥AB（或者OM⊥AB），其中前3个图AM＝BM？为什么？ （ ） （ ） （ ） （ ） 所以， 课堂分层练习 A层 1．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，⊙O中，若OM⊥弦AB于M，当AB＝6，则AM＝ ；当AM＝8时，AB＝ . 3．如图，⊙O中，若OC⊥弦AB于M，半径为5cm，弦AB＝6cm，则OM＝ ，CM＝ . 4．如图，⊙O的半径为2mm，弦AB＝2mm，则点O到AB的距离为 ，∠AOB＝ 度. ( 第1题 第2题 第3题 ) 总结：利用垂径定理及其推论，解决问题常见的的辅助线：（1）过圆心作弦的垂线，（2）作垂直于弦的直径，（3）连结半径. 解题思路为：由垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解． B层 5. 如图，有一座石拱桥，它的主桥拱是圆弧形AB，它的跨度（弧所对的弦的长）为24米，拱高（弧的中点到弦的距离）为8米，求这座拱桥主桥拱的半径？ 6．已知⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为 . C层 7.已知⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，且AB=6㎝，CD=8㎝，则弦AB、CD之间的距离为多少？ ( 备用圆 ) ( 备用圆 ) 课后分层作业 A层 1．如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在半径为的中，弦长．求： （1）的度数； （2）点O到的距离． B层 3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．求的半径 ； 2．如右图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若大圆的半径为5，且AB＝8，CD＝6，则小圆的半径为　 　． 3．如图，⊙O中，若OC⊥弦AB于P，AB＝6cm，CP＝1cm，求⊙O的半径. 4．已知直