专题6.18 用一次函数解决问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.18 用一次函数解决问题（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】利用一次函数解决实际问题的步骤 【审】——仔细审题，理解题意； 【找】——找出实际问题中的变量和常量，明确它们的关系； 【列】——建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 【解】——根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 【检】——检验结果，得出符合实际的结论 【知识点2】一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景，运用函数知识来解决的一类问题，这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 【知识点3】一次函数模型的应用方法 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【知识点4】利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道一次函数)中的自变量x的取值范围是全体实数,其图象是一条直线,所以函数既没有最大值,也没有最小值,但由于在实际问题中,所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制,所以函数图象为线段或射线,故函数就有了最值在求函数的最值时,我们应先求出函数的表达式,并确定其增减性,再根据题目条件确定出自变量的取值范围,然后结合增减性确定出最大值或最小值 【知识点5】构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中,往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化,有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题,要动中有静、动静结合,在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力 【考点目录】 【考点一】已知函数的象限求参数取值范围； 【考点二】分配方案问题； 【考点三】最大利润问题； 【考点四】行程问题； 【考点五】几何问题 【考点六】其他问题 【考点一】已知函数的象限求参数取值范围 【例1】（2023下·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知一次函数． （1）当k为何值时，函数图象经过原点； （2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限； （3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由函数图象经过原点，将代入得，，计算求解即可； （2）由函数图象经过一、三、四象限；可得，解方程组即可； （3）由y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方，可知函数图象经过二、三、四象限，则，解方程组即可． （1）解：∵函数图象经过原点， ∴将代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵函数图象经过一、三、四象限； ∴， 解得，， 解得，， ∴， ∴当时，函数图象经过一、三、四象限； （3）解：∵y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴函数图象经过二、三、四象限， ∴， 解得，， 解得，， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方． 【点拨】本题考查了根据一次函数增减性求参数，已知函数经过的象限求参数范围，一次函数解析式，解一元一次不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【举一反三】 【变式1】（2023上·陕西西安·八年级统考期中）两条直线与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质，先确定一条直线所在图象中的位置，判断a、b的正负，进而判断另一条直线的位置，若一致，则正确；若不一致，则错误，逐个判断即可． 解：A、若直线过第一、三、四象限，则，，这时直线过第一、三、四象限，故选项A中图象不符合题意； B、若直线过第一、二、三象限，则，，这时直线过第二、三、四象限，故选项B中图象符合题意； C、若直线过第一、二、三象限，则，，这时直线过第二、三、四象限，故选项C中图象不符合题意； D、若直线过第一、二、四象限，则，，这时直线过第一、二、四象限，故选项D中图象不符合题意， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握它的性质并灵活解题是解答的关键． 【变式2】（2023上·广东梅州·九年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【考点二】分配方案问题 【例2】（2023上·贵州贵阳·八年级校考期中）某