专题6.22 一次函数与二元一次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.22 一次函数与二元一次方程（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】一次函数与二元一次方程（组） 1.一般地,二元一次方程都能写成y=ax+b(a，b常数,且a0)的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知,一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 2.(1)从“数”的角度看,解二元一次方程组相当于确定自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值; (2)从“形”的角度看,解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 要点提醒： （1）二元一次方程组无解台两条直线平行(无交点); （2）二元一次方程组有唯一解两条直线相交(有一个交点); （3）二元一次方程组有无数组解两条直线重合(有无数个交点) 【知识点2】二元一次方程组的图象解法 画出两个一次函数的图象，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法。 【知识点3】确定两条直线交点坐标的方法 联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组,通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 【考点目录】 【考点一】两直线交点与二元一次方程组的解； 【考点二】图象法解二元一次方程组； 【考点三】求直线围成的图形面积。 【考点一】两直线交点与二元一次方程组的解 【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组 （1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k，b为何值时，方程组有无数组解； （3）当k，b为何值时，方程组无解． 【答案】（1），b为任意数；（2），；（3）， 【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当时，直线与只有一个交点，于是可得到的取值范围； （2）利用两直线的位置关系得到当，时，直线与重合，于是可得到、的值； （3）利用两直线的位置关系得到当，时，直线与没有一个交点，于是可得到的值和的取值范围． （1）解：当时，即， 直线与只有一个交点， 所以当，为任意数时，方程组有唯一一组解； （2）当，时，即，， 直线与重合， 所以，时，方程组有无数组解； （3）当，时，即，， 直线与没有交点， 所以，时，方程组无解． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标值．方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【举一反三】 【变式1】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．如图是两个气球所在位置的海拔y（单位：）与上升时间x（单位：）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式，联立函数关系式即可求出点P的坐标． 解：由题意得： 1号探测气球所在位置的海拔：， 2号探测气球所在位置的海拔：； 联立方程组得 解得． 即交点P的坐标为， 故选：B 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解题意，正确列出函数解析式是解题的关键. 【变式2】（2022下·湖北孝感·八年级校联考阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 ．    【答案】 【分析】利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解． 解：设点坐标为， 将代入中， ∴， ∴， 即点坐标为， ∴由图象可得关于的方程的解是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【考点二】图象法解二元一次方程组 【例2】（2023下·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． （1）解：如图所示：    两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：    两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根