4.1.2数列的递推公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2 数列的递推公式 学习目标 重点：数列的递推公式、前n项和与通项的关系 难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式 重难点 1.理解数列的递推公式、前n项和公式,提升数学抽象的核心素养. 2.掌握由数列的递推公式求通项公式、前n项和公式求通项公式的方法,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 数列的定义是什么？ 通项公式的定义是什么？ 复习巩固 探究一：数列的递推公式 4 课本例4 下图就是一系列三角形图案的谢尔宾斯基三角形。在图中4个三个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成数列的前4项，请你写出这个数列的通项公式 1 3 9 27 数列的一个通项公式是 探究新知 5 1 3 9 27 问题1 你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ ×3 ×3 ×3 从第二项起，后一项是前一项的3倍 ....... 6 若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的递推公式 数列的递推公式： 项与序号之间的关系: 通项公式 项与项之间的关系： 递推公式 追问：通项公式与递推公式有什么联系？ 两者都能确定一个数列 问题2 通项公式与递推公式有什么区别？ 7 课本例5.已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. l 解：由题意可知，， 例题精讲 探究二：由递推公式求通项公式 9 例1.(1)已知数列满足，，，求通项公式； 解(1)：∵，∴ 则，. ∴, 即， ∴ 累加法 例题精讲 例1.(2)若数列满足，且，求. 解(2)：∵，∴， 则，. ∴， 即 累乘法 变式(1)已知数列满足，，求数列的通项公式. 解(2)：∵，∴，即 则，. ∴， 即∴，即，∴ 故数列的通项公式是 取倒数 变式训练 变式(2)设数列中，，，求通项公式. ∴， 解(2)：∵ ∴，则，，，. 即∴ 探究三：数列的前n项和与通项公式 14 问题3 ：什么是数列的前项和公式？ (阅读课本P5，回答问题) 数列的前项和: 把数列{}从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作 数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 即 探究新知 15 时， 问题4 ：数列的前项和与通项公式有什么关系？ 16 课本思考：已知数列{}的前n项和公式为，你能求出{}的通项公式吗？ 满足则合并同一个式子 （1）当时， （2）当时， 综上所述， 17 变式：设数列的前项和为.已知，求的通项公式. 解：∵，∴，故 当时，， 两式相减得， 即，当时，不成立. ∴ 变式训练 不满足题意 则写成分段的形式 1.递推公式：像这样，一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示 2.数列的前项和：即. 3.对于如何一个数列，它的前项和与通项公式，都有这样的关系： 课堂小结 $$