4.4数学归纳法同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法 练习 一、单选题 1．利用数学归纳法证明 (，且)时，第二步由到时不等式左端的变化是（    ） A．增加了这一项 B．增加了和两项 C．增加了和两项，同时减少了这一项 D．以上都不对 2．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，． 故当时，不等式成立． 则下列说法正确的是（    ） A．过程全部正确 B．当时的验证不正确 C．当时的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 3．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（    ）． A．． B．． C．． D．． 5．满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（    ） A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，4 6．某个命题与正整数有关，如果当时该命题成立，那么可以推出时该命题也成立，现已知时该命题成立，那么（    ） A．时该命题成立 B．时该命题不成立 C．时该命题都成立 D．可能n取某个大于5的整数时该命题不成立 7．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ） A． B． C． D． 8．在数学归纳法证明“”时，验证当n=1时，等式的左边为 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ） A． B．存在，使得 C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列 10．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数㩆乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（    ） A．当时， B．当时， C．当为奇数时， D．当为偶数时，是递增数列 11．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 12．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，. 故当时，不等式成立. 则下列说法错误的是（    ） A．过程全部正确 B．的验证不正确 C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 三、填空题 13．已知存在常数，使等式对都成立，则 ． 14．用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 15．已知，则 ． 16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则 ． 四、解答题 17．已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有 成立，且． （1）求，的值； （2）猜想数列的通项公式，并给出证明． 18．已知数列，与函数，，满足条件：，. （I）若，，，存在，求的取值范围并求（用表示）； （II）若函数为上的增函数，，，，证明：对任意，． 19．证明：凸n边形的内角和等于． 20．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：. 21．（1）依次计算下列各式的值：，，，． （2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论． 22．如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明：. 参考答案： 1．C 【分析】根据数学归纳法，写出和时不等式左端的式子即可判断. 【详解】当时，不等式左端：， 当时，不等式左端为， 这样变化时增加了和两项，同时减少了这一项. 故选：C. 2．D 【分析】根据数学归纳法证明基本过程判断即可. 【详解】在证明当时的结论中，没有应用时的假设， 根据数学归纳法证明的基本过程可知：从到的推理不正确． 故选：D. 3．B 【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案. 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 4．C 【分析】根据的式子，即可比较求解. 【详解】由，则， 因此 故选：C 5．C 【分析】将分别代入等式进行检验可得答案. 【详解】当时，左边，右边，等式成立； 当时，左边，右边，等式成立； 当时，左边，右边，等式成立， 当时，左边，右边，等式不成立. 故选：C 6．C 【分析】根据题意，得到时该命题成立，可推得时，该命题都成立，即可求解. 【详解】根据