2.4 线段、角的轴对称性 课件 2023-2024学年苏科版八年级数学上册

2.4 线段、角的轴对称性（1） 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ A B C 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB． A C B P M N 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）． 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． P A B ∟ 数学符号语言 温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. ∵P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. 你能写出下面这个定理的逆命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． 定理的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. A B P 已知：如图，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点)，然后证明另一个结论正确. 想一想： 若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得征？ 逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. A C B P M N 如图， ∵PA=PB（已知）， ∴点P在AB的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 老师提示：这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发，你还能联想到什么？ 例 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？ 如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上的一点.试说明:BE=DE 解:因为AB=AD,BC=DC, 所以点A、C在线段BD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 因为两点确定一条直线, 所以直线AC是线段BD的垂直平分线. 又因为点E在AC上,所以BE=DE. 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 小结 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. A C B P M N 2.4 线段、角的轴对称性（2） 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等. 同学甲、乙谁的画法是正确的? 按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？ C C 角平分线上的点到角两边的距离相等． 议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE． 证明：∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°. 又∵OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). A O C B 1 2 P D E 你能证明这个结论吗？ 角平分线上的点到角两边的距离相等. 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 图形语言 数学符号语言 A O C B 1 2 P D E ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 角平分线上的点到角两边的距离相等. BD CD （×） 例 判断 1. A B C D ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）， ∴ = .（ ） DB DC 角平分线上的点到角两边的距离相等 不必再证全等 2. A B C D 反过来，到一