2.4 圆周角 课件 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

2.4 圆周角（1） 3.下列命题是真命题的是( ) ①在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等； ②相等的圆心角所对的弧相等 ③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 1.圆心角的定义? 答：相等. 答:顶点在圆心的角叫圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? B 圆周角的定义及性质 圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况? A . O B C . 思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？ . . A O B C A . O B C . 你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗? . O B C A 特征： ①角的顶点在圆上. 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ②角的两边都与圆相交. 解:∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ●O A B C ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 提示:能否转化为1的情况? 你能写出这个命题吗? 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ● O A B C D 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD, ∠CBD = ∠COD, ∴ ∠ABC = ∠AOC. 提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: 你能写出这个命题吗? 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. D A B C 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, ∴∠ABC = ∠AOC. ● O 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即∠ABC = ∠AOC. D D 圆心在角的边 圆心在角 圆心在角 上 内 外 D A B O C E F ∵ ∠CAD=∠EBF ∴ CD=EF ） ） ∠AOB=2∠BOC A O B C ∠ACB=2∠BAC 证明： ∠ACB= ∠AOB ∠BAC= ∠BOC 例如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 【小结】 2.4 圆周角（2） 若把直径看作一个180°的圆心角,那么根据圆周角定理可知直径所对的圆周角是多少度? 圆周角和直径的关系 圆周角和直径的关系： 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. 若AC是半圆， ∠ADC= ， ∠ABC= . 90° 90° 若AC是直径， 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小. O C A B 解：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.） ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°. 例2 如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交☉O于B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，通常考虑构造直角三角形来求解. 如图,△ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,∠ACB=50°,点D是上一点,且不与点B,C重合,则∠D=　　　　. 40° 如图,AB是☉O的直径,D是圆上任意一点(不与A,B重合),连接BD并延长到点C,使BD=DC,连接AC,试判断△ABC的形状. 解:连接AD,如图. ∵AB是☉O的直