2023-2024学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：指数函数与对数函数压轴题

2023学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：指数函数与对数函数压轴题 （原卷版） 1. 已知在定义域内单调的函数满足恒成立. （1）设，求实数的值； （2）解不等式； （3）设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值. 2. 已知函数偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 3. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若，使成立，求a的取值范围． 4. 已知函数的图象过点，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上有零点，求整数k的值； （3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围. 5. 设函数(且,),是定义在上奇函数. (1)求的值; (2)已知,函数,求的值域; (3)若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. 6. 已知图像关于轴对称． （1）求的值； （2）若方程有且只有一个实根，求实数的取值范围． 7. 已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求、； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围. 8. 已知． （1）当且时，求函数的取值范围； （2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 9. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值并证明是增函数； （2）若实数满足不等式，求t的取值范围. 10. 设，函数． （1）若，判断并证明函数的单调性； （2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围． 11. 已知函数（，且）. （1）若，试比较与的大小，并说明理由； （2）若，且，，三点在函数的图像上，记的面积为，求的表达式，并求的值域. 12. 已知函数． （1）若函数是奇函数，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，证明：函数是增函数； （3）若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 13. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 14. 已知函数． （1）试判断函数的奇偶性，并证明； （2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数k的取值范围． 15. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值; （2）解关于的不等式; （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：指数函数与对数函数压轴题 （解析版） 1. 已知在定义域内单调的函数满足恒成立. （1）设，求实数的值； （2）解不等式； （3）设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值. 【答案】（1） （2） （3），当且仅当时等号成立， 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求解， （2）由函数的单调性转化后求解， （3）参变分离后转化最值问题，由换元法结合基本不等式求解， 【小问1详解】 由题意得， ， 由于在上单调递增， 观察得的解为， 【小问2详解】 由于在定义域内单调，所以常数， 由（1）得，在上单调递增， ， 故原不等式可化为， 由得， 故原不等式的解集为 【小问3详解】 可化为对恒成立， 设， 则，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故当时， ， 故，当且仅当时等号成立 2. 已知函数偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由偶函数的性质即可求出； （2）令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况讨论求解. 【详解】（1）∵是偶函数， ∴对任意恒成立， 即：恒成立， ∴. （2），，， 令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解， ①当时，解得，不合题意； ②当时，记， 其图象的对称轴， ∴函数在上递减而， ∴方程（*）在无解. ③当时，记，其图象的对称轴， 所以，只需，即，此恒成立， ∴此时的范围为， 综上所述，所求的取值范围. 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数交点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为在上只有一解，再讨论的范围求解 3. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若，使成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据参数的值求解出函数的解析式，再根据复合函数的性质求解值域即可； （2）先将函数看成关于的一次函数，运用不等式恒成立问题的处理方法将问题转化为只含一个变量的函数问题，再运用存在性问题的处理方法求解参数的取值范围． 【小问1详解】 解：，时，， 令，，， 可写出关于的二次函数， 根据二次函数的性质可得， 所以当，时，函数的值域为． 【小问2详解】 解：，可看成关于的一次函数，且函数单调递减， ,不等