广东省广州市2023-2024学年高一上学期期末复习数学解答题训练专题：函数的性质

2023学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：函数的性质（原卷版） 1. 已知函数（为常数且）图象经过点， （1）试求的值； （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 2. 某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表： x（单位：克） 0 2 6 10 …… y 8 8 …… （1）指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由； （2）求出y与x的函数关系式； （3）求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳. 3. 已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 4. 已知1与2是三次函数的两个零点. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 5. 问题：是否存在二次函数同时满足下列条件： ，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答. 6. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若在区间上是单调函数，求实数a取值范围． 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式，并作出函数的图象； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 8. 已知函数． （1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （2）当时，解关于x的不等式． 9. 已知二次函数的图象过点，满足且函数是偶函数.函数. （1）求二次函数的解析式； （2）若对任意，，恒成立，求实数m的范围； （3）若函数恰好三个零点，求k的值及该函数的零点. 10. 已知函数，. （1）若在区间上不单调，求的取值范围； （2）已知关于x的方程在区间内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 11. 已知函数，，． 若不等式的解集为 （1）求的值及； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论． （3）已知且，若.试证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：函数的性质（解析版） 1. 已知函数（为常数且）图象经过点， （1）试求的值； （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围. 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以. （2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题. 2. 某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表： x（单位：克） 0 2 6 10 …… y 8 8 …… （1）指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由； （2）求出y与x的函数关系式； （3）求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳. 【答案】（1）模型①； （2）； （3）当克时产品的性能达到最佳． 【解析】 【分析】（1）根据题中数据结合条件即得； （2）结合待定系数法，代入数据运算即得； （3）按，分类，结合指数函数、二次函数的性质分别求最值，进而即得. 【小问1详解】 模型①最能反映y和x（）的关系， 由题可知时，，显然模型③不合题意， 若为模型②，则，不合题意， 故模型①最能反映y和x（）的关系； 【小问2详解】 当时，， 由可得， 由得， 由得， 解得， 所以； 当时，y＝， 由，可得， 解得，即有y＝. 综上，可得 ； 【小问3详解】 当时，， 即有时，性能指标值取得最大值12； 当时， 单调递减， 所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3； 综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳． 3. 已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在使得不等式成立，求实数的