15.3 第1课时 分式方程及其解法 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 第十五章 分 式 此方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 新课讲解 1 分式方程的概念 观察前面所列方程： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 整式方程 整式方程 整式方程 分式方程 分式方程 分式方程 新课讲解 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的是去分母. （1）如何把它转化为整式方程呢？ 2 分式方程的解法 新课讲解 新课讲解 方程各分母的最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此x=6是原分式方程的解. 90（30-x)=60(30+x)， 解得 x=6. x=6是原分式方程的解吗？ 方法归纳 ★解分式方程的基本思路： 是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 新课讲解 下面我们再讨论一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 新课讲解 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 新课讲解 真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 新课讲解 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 新课讲解 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． ★分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 知识要点 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根. 简记为：“一化、二解、三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤： 新课讲解 解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 例1 新课讲解 解方程 解：方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 例2 新课讲解 ★解分式方程的一般步骤： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a 最简公分母是 否为零？ 否 是 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_______ _____． 【解析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴ －a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. a＜－1且a≠－2 例3 新课讲解 新课讲解 若关于x的分式方程 无解，求m 的值． 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，