6.4.3.1 余弦定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§6.4.3(1)余弦定理 一、 情境引入 如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得CA=2km,CB=5km， .请问，你能求出隧道AB的长度吗？ 在 中,CA=2,CB=5, ,求AB. C A B 5 2 问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？ 二、 新知探究 已知三角形的两边 及其夹角 ，求第三边 . C A B 1、余弦定理的推导 问题2：这个三角形是唯一确定的吗？ 问题3：前面我们学习了向量的有关知识，能否借助向量方法来研究三角形中的边角关系？如果可以，借助一个怎样的向量模型来研究？ 问题5： 是一个向量等式.但是我们要得到三角形的边角关系是一个数量关系，那么如何将这个向量等式转化为数量等式呢？需要借助向量的何种运算才能实现？ 二、 新知探究 已知三角形的两边 及其夹角 ，求第三边 . C A B ①用向量表示几何元素 1、余弦定理的推导 问题4：如图，你能写出哪些向量等式？ 二、 新知探究 已知三角形的两边 及其夹角 ，求第三边 . C A B ①用向量表示几何元素 ②进行向量运算 ③将向量转化为几何元素 1、余弦定理的推导 二、 新知探究 2、余弦定理： 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 问题6：观察这三个等式，你能用一句话来概括它们吗？ 问题7：你能用其他方法证明余弦定理吗？ 二、 新知探究 ②坐标法 ①向量法 C A B A B ③几何法 C A B D 3、余弦定理再认知——余弦定理与勾股定理的关系 问题8：余弦定理适用于任意三角形，当定理中的角为 时，你有什么发现？ 二、 新知探究 勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广. 问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 二、 新知探究 4、余弦定理的推论 推论： 问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？ 1、解三角形的概念： 三、 定理应用 在 中,CA=2,CB=5, ,求AB. C A B 5 2 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 叫做三角形的6个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理的应用——解三角形 例1 在 中, ,锐角C满足 ,求c. ①已知两边及其夹角，解三角形. 解： 由余弦定理 得 三、 定理应用 例2 在 中, 解这个三角形. 解：由余弦定理 得，即 当 时， 当 时， 综上所述， 或 三、 定理应用 2、余弦定理的应用——解三角形 ②已知两边及其一边所对的角，解三角形. 例3 在 中, 解这个三角形. ③已知三边，解三角形. 解：由已知得 因为A,B均为三角形内角，所以 由 得 三、 定理应用 问题11：如何利用余弦定理判断三角形的形状？ 2、余弦定理的应用——解三角形 三、 定理应用 2、余弦定理的应用——判断三角形的形状 解：由已知得 ,