3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 第三章 圆锥曲线 新课引入 新课引入 17:34 学习目标 掌握椭圆的定义、椭圆的标准方程及推导过程.（重点） 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，理解椭圆的定义中常数加以限制的原因．（重点、难点） 实验探究： [1]取一条定长的细绳 [2]把它的两端点（F1、F2）固定在纸上 [3]用笔尖（M）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动观察画出的图形. 问题1： （1）在作图时，绳子长度是否改变？绳长与两钉之间的距离有怎样的大小关系？此时，画出的轨迹是什么曲线？ （2）改变两钉之间的距离，使之与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ （3）如果绳长小于两钉之间的距离呢？ 动手实验，认识椭圆 M F1 F2 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点距离的和等于常数（大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点（ focus )，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（ focus distance )，焦距的一半称为半焦距． 椭圆的定义 F1 F2 M 文字表述 符号表述 （ ） 椭圆的标准方程 问题2：求动点轨迹方程的步骤是？ 建系 设点 列式 代换 化简 建立适当的直角坐标系； 设M（x,y）是其上任意一点； 由限制条件，列出几何 等 式，写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)} 用坐标法表示条件P(M)，列出方程化简方程. 按照这个方法，我们开始求取椭圆的标准方程. 7 探讨:建立平面直角坐标系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 O x y 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”) 椭圆的标准方程 (1)建系设点: (2)写出点集: (3)列出方程: (4)化简方程: O x y F1 F2 M 方案一 以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系， 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点，点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0) 则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),椭圆的焦距为2c(c>0)。 M= {M | | MF1 | + | MF2 | =2a}. 椭圆的标准方程 问题3:如何化简这个方程？ 方案②: 尝试将两个根号分开即移项. 先变成 方案①: 两边直接平方. 上式两边平方得 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 两边除以 得 再平方 再化简 移项 平方 化简 P F1 F2 问题4：观察下图，你能找出 表示的线段吗？ 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点在y轴： 焦点在x轴： y o F1 F2 M x o F2 y x F1 M (x,y) (x,y) (0,c) (0,-c) 问题5：如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 椭圆的标准方程 y o F1 F2 x M (x,y) M'(y,x) y=x 建构新知—椭圆标准方程 例1：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？并指明 . 学以致用 1.标准方程特征：焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆； 方程的左边是平方和，右边是1. 2.判断焦点在哪轴上的方法：看，项的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上 17:34 练习1.已知椭圆的方程为：,则a=____，b=___, c=____，焦点坐标为： ，焦距等于_____; 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 学以致用 x 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)，，焦点在轴上; (2) ，，焦点在y轴上; (3)，. 学以致用 分类讨论 17:34 学以致用 x 标 准 方 程 相 同 点 不 同 点 图 形 焦 点 坐 标 a, b, c 的关系 y x M O F1 F2 O x F1 F2 M y 定 义 焦点位置判断 x2与y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上. 课堂小结 本节课用到了哪些数学思想方法？ 分类讨论思想 数形结合思想 椭圆的标准方程要分焦点在x轴还是y轴上 从椭圆图形推出椭圆的标准方程 课堂小结 类比思想 从圆类比到椭圆 17:34 x 课后练习 1、课本P49A组第1题，第2题。（作业本） 2、思考题：你能说出下列式子的几何意义吗？对应的曲线又是什么呢？ $$