广东省广州市2023-2024学年高一上学期期末复习数学解答题训练专题：三角函数压轴题

2023学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：三角函数压轴题（原卷版） 1. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）令，求的最小值. 2. 给定常数，定义在上的函数. （1）若在上的最大值为2，求的值； （2）设为正整数.如果函数在区间内恰有2022个零点，求的值. 3. 已知函数的图象经过点. （1）若的最小正周期为，求的解析式； （2）若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 4. 已知函数为上的奇函数，且，． （1）若不等式有解，求实数m的取值范围； （2）若对于，，使得成立，求实数t的取值范围． 5. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记， （1）用角表示，的长度； （2）当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 6. 如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR与AB平行，交AC于点R. （1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积； （2）试求街道RQ长度的最小值. 7. “中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数的图象，且图象的最高点为．中间部分是长为1千米的直线段，且．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧． （1）试确定的值； （2）若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点Q落在半径上，另一顶点P落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？ 8. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年广东省广州市高一上学期期末解答题训练专题：三角函数压轴题（解析版） 1. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）令，求的最小值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而可求函数的最小正周期； （2）利用正弦函数的图象与性质可得时，，令，根据二次函数的性质即可求最小值. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由，可得，所以. 令,则， 令，其对称轴为， ①当，即， 在上单调递增，所以； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； ③当，即时， 在上单调递减，所以. 综上所述， 故 2. 给定常数，定义在上的函数. （1）若在上的最大值为2，求的值； （2）设为正整数.如果函数在区间内恰有2022个零点，求的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式可得，设，分类讨论，根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可得有两个不等的实数根， .分与讨论，结合正弦函数的图象即可求解. 【小问1详解】 ， 设， 则， 的开口向下，对称轴为， 当，即时，， 又，所以，解得，与矛盾. 当，即时，当时，， 又，所以，解得. 综上所述，. 【小问2详解】 ，令，， 则. 因为，所以有两个不等的实数根，且， 所以. 又， 当时， 时，有2个根；时，有2个根； 故时，有4个根. 因为在区间内恰有2022个零点，所以. 当时， 时，有1个根；时，有2个根； 故时，有3个根. 因为在区间内恰有2022个零点，且，所以. 综上所述，的值为或. 【点睛】关键点睛： 二次函数与正弦型函数的复合问题，求值域可利用换元法，转化为二次函数求值域，单调性问题需要结合正弦函数及二次函数的单调性 3. 已知函数的图象经过点. （1）若的最小正周期为，求的解析式； （2）若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式； （2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以