二次函数中的存在性问题-重难点题型讲义2023年九年级中考数学复习

二次函数中的存在性问题-重难点题型 【人教版】 【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】 【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）点A的坐标为 　（﹣1，0）　，点B的坐标为 　（3，0）　； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【解题思路】（1）根据抛物线解析式令y＝0求出A，B的坐标即可； （2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可； （3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，分别解方程组，即可求得点P的坐标． 【解答过程】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 故答案为：（﹣1，0），（3，0）； （2）在y＝﹣x2+2x+3中， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入，得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 若PE＝2ED，则PD＝3ED， 设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵PD⊥x轴于点D， ∴E（m，﹣m+3）， ∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3）， ∴m2﹣5m+6＝0， 解得m1＝2，m2＝3（舍）， ∴m＝2， 此时P（2，3），E（2，1）， ∴PE＝2， ∴S△PBCPE•OB2×3＝3． ∴△PBC的面积为3； （3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形， ∴有两种情况： ①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°． ∵P1C⊥BC， ∴∠DCB＝90°， ∴∠DCO＝45°， 又∵∠DOC＝90°， ∴∠ODC＝45°＝∠DCO， ∴OD＝OC＝3， ∴D（﹣3，0）， ∴直线P1C的解析式为y＝x+3， 联立， 解得或（舍）； ∴P1（1，4）； ②点B为直角顶点， 如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C， ∵P1C⊥BC，BP2⊥BC， ∴P1C∥BP2， ∴设直线BP2的解析式为y＝x+b， 将B（3，0）代入，得0＝3+b， ∴b＝﹣3， ∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3， 联立， 解得或（舍）， ∴P2（﹣2，﹣5）． 综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）． 【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a、b、c的值； （2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设成抛物线解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论； （2）先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点Q坐标，再用三角形的面积公式，得出函数关系式，即可得出结论； （3）运用配方法求出抛物线对称轴，设点Q（﹣1，n），根据A（﹣3，0），C（0，3），可运用勾股定理分别求出：AC2，CQ2，AQ2，由于△QAC为直角三角形，可以分三种情况：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，对每种情况运用勾股定理列方程求解即可． 【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点 ∴， 解得： ∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）如图1， 过点P作PE∥y轴，交AC于E， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， 设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3）， ∴S△ACP