等差数列 学练案-2024届高三数学一轮复习

高三年级上学期数学学练案（第25期） 编写人：田老师 审查人：王老师 使用日期：2023.12 6-2 等差数列 1、 自主复习【查】 【必备知识】 1. 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 ，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． d>0⇔{an}为 数列；d<0⇔{an}为 数列；d＝0⇔{an}为 ． 2. 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的 且2A＝a＋b. 3. 等差数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d ＝ n2＋n ⇒ 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有常数项． 4. 等差数列的性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)； (2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)； (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d； (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； (6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； (7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； (8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝． 5. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最 值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最 值；当d<0时，Sn有最 值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【关键能力】 （1） 掌握等差数列的定义,通项公式和前n项和公式,体会等差数列与一次函数的关系. （2） 运用方程的思想抓住基本量a1，d，n，an，Sn的计算“知三求二”. 二、师生研学【研】 [考点分类突破] 题型一 等差数列的基本运算 【例1-1】（2020新课标文）记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【练习1-1】已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为(　　) A．1或－1 B．2 C．－2 D．2或－2 题型二 等差数列的判定与证明 【例2-1】　(2021·全国甲卷)记Sn 为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列 ． 【例2-2】(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题 中的证 明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 选择、 填空题 中的判 断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 【练习2-2】（2022日照模拟）已知数列{an}{bn}满足a1＝1，其中 求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式. 题型三 等差数列的性质及应用 【例3-1】(1) (2022·淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝(　　) A．72 B．36 C．18 D．9 (2)(2022·临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (