等比数列 学练案-2024届高三数学一轮复习

菏泽三中高三年级上学期数学学练案（第26期） 编写人：田老师 审查人：王老师 使用日期：2023. 12 6-3 等比数列 1、 自主复习【查】 【必备知识】 （一）等比数列的有关概念 1. 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为＝q(n∈N*) 2. 等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的__________．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝____． [注意]（1）只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． （2）“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． （二）等比数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m． 2．前n项和公式：Sn＝Sn＝ （三）等比数列的单调性 满足的条件 单调性 {an}是递增数列 {an}是递减数列 {an}是常数列 q<0 {an}是摆动数列 [记结论] 1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a． 2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn． 4．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 【课程标准】 (1) 理解等比数列的概念和通项公式的意义； (2) 掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系； (3)体会等比数列与指数函数的关系．　 二、师生研学【研】 [考点分类突破] 题型一 等比数列基本量的运算 【例1-1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 【练习1-1】已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16　　　　　　　　 B．8 C．4 D．2 题型二 等比数列的判定与证明 【例2-1】　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 等比数列的判定方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 【练习2-2】(2022·苏州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，n∈N*，an＋1＝2an＋1． (1)求证：{an＋1}是等比数列； (2)设bn＝2nan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和． 题型三 等比数列的性质及应用 【例3-1】（1）已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)＝(　　) A． B．－ C．－ D．± （2）在数列{an}中，a1＝2，对任意 ，若，则k=(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【例3-2】（1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． （2） 已知等比数列{an}的公比不为-1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12=7S4，则______． 【练习3-1】若等比数列{an}中，a5，a2017是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，试求=________． 【练习3-2】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________． 方法总结： 等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有如下的性质，设公比为q． (1)若共有2n项，则＝q； (2)若共有2n＋1项，＝q． 三、训练提升【练】 【当堂检测】 1． 若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且