2024届高考数学一轮复习 讲义：空间直线、平面的平行

课题：空间直线、平面的平行 知识点 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行） ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行） ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行⇒面面平行） ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b （1）应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且a∥b，否则会出现错误． （2）应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面． （3）线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找（或作）过a且与α相交的平面．应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件． （4）面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β． 【注1】 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．同一条直线与两个平行平面所成角相等． 6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 【注2】 1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． 2．（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 【注3】线面平行问题的解题技巧 （1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行． （2）应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 【注4】证明面面平行的常用方法 （1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）； （2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（主要方法）； （3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题常用）； （4）如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题常用）； （5）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 【注5】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决． 【注6】立体几何证明平行的方法及技巧：立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1）通过“平移”。 （2）利用三角形中位线的性质。 （3）利用平行四边形的性质。 （4）利用对应线段成比例。 （5）利用面面平行的性质，等等。 典型例题 例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 例2在正六棱柱 任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3下列能保证直线 与平面 平行的条件是（    ） A． ， B． ， ， C． ､ ， ， ， ，且 D． ， ， ， 例4对于直线m、n和平面 ，下面命题中的真命题是（    ） A．如果 ， ，m、n是异面直线，那么 B．如果 ， ，m、n是异面直线，那么n与 相交 C．如果