假期作业八 立体几何中的向量方法-【快乐假期】2024高二数学寒假作业高考状元假期学习方案（新教材，北师大版）

三022 期 业精于勤，而荒于嬉。 作 业 八、立体几何中的向量方法 完成日期： 月 《思维整合室 wer zheng he shi 自测自查 a·b 知识梳理 1.ab 2日 3.(1)(AB,CD> 1.两条异面直线所成角的求法 BA·n (2)(n1,n2〉（或π-〈n1,n2〉） 4. n 设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其 夹角为0，则cosg=|cos川= (其 要点记忆 中9为异面直线a,b所成的角) 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 2.直线和平面所成的角的求法 思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算 如图所示，设直线l的方向向量为e,平面a 进行判断。 的法向量为n,直线l与平面a所成的角为 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分 e,两向量e与n的夹角为0，则有sinp= 三步： cos 0= (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量（或坐标）表示问题中所涉及的量，把 立体几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置 3.求二面角的大小 关系 (1)如图①，AB,CD是二面角a一l一3的两个 (3)根据运算结果的几何意义来解释相关 面内与棱！垂直的直线，则二面角的大小日 问题， 《技能提升台 JI neng u sheng Lal 技能提升 B 1.若直线4，l2的方向向量分别为a=(1,2,一2)， b=(-2,3,2),则 ① ② ③ A.l1∥。 (2)如图②③，n1,n2分别是二面角a一l一3的 B.l1⊥l2 两个半平面α，3的法向量，则二面角的大 C.l1,l2相交但不垂直 小0= D.不能确定 4.点面距离的求法 2.在空间直角坐标系中，a=（1,2,1)为直线1 设n是平面a的法向量， 的一个方向向量，n=(2,t,4)为平面a的一 AB是平面a的一条斜 个法向量，且l∥a,则t= () 线，则点B到平面a的距离为 A.3 B.-3 (如图) C.1 D.-1 ·21· 火堡数学u c900号 3.已知向量n=(2,0,1)为平面a的法向量， 7.若平面α的一个法向量为41=（一3，y,2),平 点A(-1,2,1)在a内，点P(1,2,-2)在a 面B的一个法向量为=(6，-2，x),且a∥B, 外，则点P到平面α的距离为 ( 则y十x= A号 8.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) B.13 13 分别是平面a,3,Y的一个法向量，则a,3,Y C65 三个平面中两两垂直的有 对 65 D.8 5 9.在底面为直角梯形的四棱锥P一ABCD中，侧 4.在正方体ABCD一A,B,C1D1中，平面 棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°， A,BD与平面C,BD所成二面角的余弦值 PA=AB=BC=2,AD=1,则点D到平面 PBC的距离是 为 10.如图，在直三棱柱ABC A AB,C中，∠BAC=90°， AB=AC=AA=2,G,E, c号 D分别是棱AB,CC, 5.(多选)如图，在空间直角 D AC的中点，F是棱AB上的点.若GD·EF= 坐标系中，ABCD 一1，则线段DF的长度为 AB,CD为单位正方 11.在棱长为1的正方体ABCD一ABC,D 0(A) 体，下列结论中正确的有 中，M,N,E,F分别是棱AB,AD B,C1,CD1的中点.证明平面AMN∥平 面EFDB,并求平面AMN与平面EFDB A.直线DD的一个方向向量为(0,0,1) 的距离. B.直线BC,的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面BCD的一个法向量为(1,1,1) 6.(多选)如图，在直三棱柱 ABC-ABC中，AC= BC=AA,=2,∠ACB= 90°.D,E,F分别为AC, AA,AB的中点，则下列结论正确的是( A.AC与EF相交 B.BC1∥平面DEF C.EF与AC1所成角的大小为90 D点岳到平面DEF的距离为3 ·22· 三0022 朝作业) 12.(2023·全国甲卷， C 高考冲浪 18)在三棱柱ABC 1.(2023·新课标I卷，18)如图，C ABC,中，AA1=2, 在正四棱柱ABCD C-- A,C⊥底面ABC, A,BC1D1中，AB=2,AA1= ∠ACB=90°，A,到 4.点A2,B2,C2,D2分别在棱 平面BCC,B,的距离为1. AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2D (1)求证：AC=A,C; =1,BB2=DD2=2,CC2=3. (2)若直线AA,与BB,距离为2，求AB (1)证明：B,C2∥AD2; 与平面BCC,B,所成角的正弦值. (2)点P在棱BB,上，当二面角P-AC2 D2为150时，求B2P. 2.