2024年中考数学二轮复习：函数——存在性、判定专题

函数——存在性、判定专题 函数的存在性问题是压轴题最后一问的常考问题；常见的有角度、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形等等；其中等腰三角形、相似三角形和平行四边形（两定两动）是热门考点，出现频率最高。 存在性问题： 1．如图，抛物线y＝x﹣2与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标． （2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点，连结PC，PB． ①是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由． ②连结AC，AP，AP交BC于点F，当∠CAP＝∠ABC时，求直线AP的函数表达式． 2．如图，已知抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0）， B（0，2），二次函数y＝+bx﹣2的图象经过C点． （1）求二次函数的解析式； （2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标； （3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值； （3）若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标； （4）若点E为抛物线的顶点，点F（3，a）是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上分别找点M、N使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标． （3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD． （1）求该抛物线的表达式以及对称轴； （2）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点（与E，F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标； 判定题型： 8．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（﹣7，0），顶点D坐标为 （﹣3，），点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到 △CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．过顶点D作DD1⊥x轴于点D1． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求△ABC的周长； （2）如图1，P为抛物线上第二象限的点，连接PA、PC，当四边形APCO面积最大时，在对称轴l上找一动点Q，使得|PQ﹣BQ|的值最大，并求出此时点Q的坐标及|PQ﹣BQ|的最大值． （3）如图2，点E是抛物线上一点，点F是直线m：y＝x+上的一点，是否存在点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，